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et, substituant dans $\mathrm {R} ,$ on prendra le nombre entier qui approchera le plus de ${\frac {\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}},$ c’est-à-dire de ${\frac {\mathrm {R} -1}{k}},$ et, ce nombre, étant nommé $k,$ on aura la fraction

${\frac {k'\rho +\varpi }{k'\rho '+\varpi '}}={\frac {k'(kp+1)+p}{k'k+1}}.$

3^o On fera

$\varpi =kp+1,\quad \varpi '=k,\quad \rho =k'(kp+1)+p,\quad \rho '=k'k+1,$

et l’on prendra la valeur entière la plus approchée de

${\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {-\mathrm {R} -k}{kk'+1}},$

laquelle étant nommée $k'',$ on aura la fraction

${\frac {k''\rho +\varpi }{k''\rho '+\varpi '}}=\ldots ,$

et ainsi de suite.

De cette manière, la valeur de $x$ sera exprimée par la fraction continue

$p+{\frac {1}{k+{\cfrac {1}{k'+{\cfrac {1}{k''+\ldots }}}}}},$

ou, par les fractions convergentes,

${\frac {1}{0}},\quad {\frac {p}{1}},\quad {\frac {kp+1}{k}},\quad {\frac {k'(kp+1)+p}{k'k+1}},\ldots .$

77. Si l’on n’a pas d’abord

${\frac {\mu -1}{\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\Pi }}<{\frac {1}{2}},$

il n’y aura qu’à chercher la fraction continue par la méthode ordinaire jusqu’à ce que l’on arrive à une fraction dont le dénominateur $\rho '$ soit tel que l’on ait

${\frac {\mu -1}{\rho '^{2}\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\rho '^{2}\Pi }}<{\frac {1}{2}},$