Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/664

et $\mathrm {A}$ sont premiers entre eux (hypothèse), donc il faudra que $\alpha$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ donc, faisant pour plus de simplicité

$\mathrm {{\frac {\alpha }{A}}=P,\quad -\beta =Q,\quad \gamma A=R,\quad -\delta A^{2}=S} ,\ldots ,\quad \pm \zeta \mathrm {A} ^{n-1}=\mathrm {V} ,$

on aura la transformée suivante, que nous désignerons par (B),

(B)

$1=\mathrm {P} u^{n}+\mathrm {Q} u^{n-1}y+\mathrm {R} u^{n-2}y^{2}+\ldots +\mathrm {V} y^{n},$

et qui a, comme on voit, la condition demandée par le Problème.

6. Corollaire I. — Il est visible que la quantité $\alpha$ n’est autre chose que le second membre de l’équation proposée (A) en y faisant $t=\theta$ et $u=1.$ De plus, il résulte du Corollaire II du Lemme précédent que le nombre $\theta$ peut toujours être pris moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}.$

Donc, pour que l’équation (A) puisse subsister dans les hypothèses du Problème, il faudra qu’en faisant $u=1$ on puisse trouver une valeur entière de $t$ positive ou négative, mais moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ (abstraction faite du signe de $t$ et de $\mathrm {A}$), laquelle rende le second membre de cette équation divisible par le premier $\mathrm {A} .$ On essayera donc pour $t$ tous les nombres entiers positifs ou négatifs, moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et si l’on n’en trouve aucun qui ait la condition requise, on en conclura sur-le-champ qu’il est impossible que dans l’équation (A) les nombres $t$ et $u$ puissent être entiers et premiers entre eux, et au nombre $\mathrm {A} .$ Mais si l’on trouve un ou plusieurs nombres qui remplissent la condition prescrite, alors on pourra prendre chacun de ces nombres pour $\theta ,$ et l’on aura autant de différentes transformées (B) qu’on aura de valeurs de $\theta .$

7. Corollaire II. — Pour faciliter la recherche des valeurs de $\theta ,$ on peut employer la méthode des différences dont nous avons déjà fait usage dans le Scolie du n^o 13 du Mémoire sur la résolution des équations numériques. En effet, par cette méthode, dès qu’on aura trouvé les valeurs de