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Problème I.

5. Étant donnée l’équation

(A)

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}u+\mathrm {D} t^{n-2}u^{2}+\ldots +\mathrm {K} u^{n}$

que nous désignerons par (A), dans laquelle on suppose que $\mathrm {A,B,C,\ldots ,K}$ soient des nombres quelconques entiers donnés, et que $t,u$ soient deux indéterminées qui puissent être exprimées par des nombres entiers, dont l’un $u$ soit premier au nombre $\mathrm {A} ,$ on propose de ramener cette équation à une autre de la même espèce, et dans laquelle le terme tout connu soit l’unité.

Puisque $t,u$ et $\mathrm {A}$ sont des nombres entiers, et que $u$ et $\mathrm {A}$ sont premiers entre eux (hypothèse), on peut toujours trouver par le Lemme précédent deux nombres entiers $\theta$ et $y,$ tels que l’on ait

$t=u\theta -\mathrm {A} y.$

Donc, substituant cette valeur de $t$ dans l’équation (A), elle deviendra celle-ci

$\mathrm {A} =\alpha u^{n}-\beta \mathrm {A} u^{n-1}y+\gamma \mathrm {A} ^{2}u^{n-2}y^{2}-\ldots \pm \zeta \mathrm {A} ^{n}y^{n},$

en supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\alpha =&\mathrm {B} \theta ^{n}+\mathrm {C} \theta ^{n-1}+\mathrm {D} \theta ^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} ,\\\beta =&n\mathrm {B} \theta ^{n-1}+(n-1)\mathrm {C} \theta ^{n-2}+(n-2)\mathrm {D} \theta ^{n-3}+\ldots ,\\\gamma =&{\frac {n(n-1)}{2}}\mathrm {B} \theta ^{n-2}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\mathrm {C} \theta ^{n-3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Qu’on divise maintenant toute cette équation par $\mathrm {A} ,$ et l’on aura

$1={\frac {\alpha u^{n}}{\mathrm {A} }}-\beta u^{n-1}y+\gamma \mathrm {A} u^{n-2}y^{2}-\ldots \pm \zeta \mathrm {A} ^{n-1}y^{n},$

d’où l’on voit que la quantité ${\frac {\alpha u^{n}}{\mathrm {A} }}$ doit être égale à un nombre entier, puisque tous les autres termes de l’équation sont des nombres entiers (hypothèse), et qu’ainsi il faut que $\alpha u^{n}$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ mais $u$