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fraction continue

$a=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}+\ldots }}}},$

$\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ étant des nombres entiers positifs ; or, ces nombres étant ainsi connus, on fera

${\begin{alignedat}{2}l_{1}&=\lambda _{1},&\mathrm {L} _{1}&=1,\\l_{2}&=\lambda _{2}l_{1}+1,&\mathrm {L} _{2}&=\lambda _{2},\\l_{3}&=\lambda _{3}l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{4}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2},\qquad &\mathrm {L} _{4}&=\mathrm {\lambda _{4}L_{3}+L_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

et l’on aura cette suite de fractions principales convergentes vers $a,$ et alternativement plus petites et plus grandes que $a,$

(C)

${\frac {0}{1}},\quad {\frac {1}{0}},\quad {\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},\quad {\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},\quad {\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},\quad {\frac {l_{4}}{\mathrm {L} _{4}}},\ldots ,$

que nous désignerons par (C).

De plus, on substituera successivement, dans les expressions de $l_{1},\mathrm {L} _{1},$ $l_{2},\mathrm {L} _{2},\ldots ,$ à la place des nombres $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,$ tous les nombres entiers positifs moindres que ceux-ci ; et faisant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}l_{1}\ \ &=\lambda _{1},&\mathrm {L} _{1}\ \ &=1,\\l_{1}^{(1)}&=l_{1}\ \ +1,&\mathrm {L} _{1}^{(1)}&=\mathrm {L} _{1},\\l_{1}^{(2)}&=2l_{1}+1,&\mathrm {L} _{1}^{(2)}&=2\mathrm {L} _{1},\\l_{1}^{(3)}&=3l_{1}+1,&\mathrm {L} _{1}^{(3)}&=3\mathrm {L} _{1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,\\l_{1}^{(\lambda _{2})}&=\lambda _{2}l_{1}+1=l_{2},&\mathrm {L} _{1}^{(\lambda _{2})}&=\lambda _{2}\mathrm {L_{1}=L_{2}} \,;\\\\l_{2}^{(1)}&=\ \ l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(1)}&=\ \ \mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{2}^{(2)}&=2l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(2)}&=2\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{2}^{(3)}&=3l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(3)}&=3\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\l_{2}^{(\lambda _{3})}&=\lambda _{3}l_{2}+1l_{1}=l_{3},\qquad &\mathrm {L} _{2}^{(\lambda _{3})}&=\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}=L_{3}} \,;\end{alignedat}}$