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${\begin{alignedat}{2}l_{3}^{(1)}&=\ \ l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(1)}&=\ \ \mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\l_{3}^{(2)}&=2l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(2)}&=2\mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\l_{3}^{(3)}&=3l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(3)}&=3\mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\l_{3}^{(\lambda _{4})}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2}=l_{3},\qquad &\mathrm {L} _{3}^{(\lambda _{4})}&=\lambda _{4}\mathrm {L_{3}+L_{2}} \,;\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{alignedat}}$

on aura ces deux séries de fractions convergentes vers $a,$

(D)

${\frac {0}{1}},{\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},\ldots ,{\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},{\frac {l_{2}^{(1)}}{\mathrm {L} _{2}^{(1)}}},{\frac {l_{2}^{(2)}}{\mathrm {L} _{2}^{(2)}}},{\frac {l_{2}^{(3)}}{\mathrm {L} _{2}^{(3)}}},\ldots ,{\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},{\frac {l_{4}^{(1)}}{\mathrm {L} _{4}^{(1)}}},{\frac {l_{4}^{(2)}}{\mathrm {L} _{4}^{(2)}}},{\frac {l_{4}^{(3)}}{\mathrm {L} _{4}^{(3)}}},\ldots .$

(E)

${\frac {1}{0}},{\frac {l_{1}^{(1)}}{\mathrm {L} _{1}^{(1)}}},{\frac {l_{1}^{(2)}}{\mathrm {L} _{1}^{(2)}}},{\frac {l_{1}^{(3)}}{\mathrm {L} _{1}^{(3)}}},\ldots ,{\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},{\frac {l_{3}^{(1)}}{\mathrm {L} _{3}^{(1)}}},{\frac {l_{3}^{(2)}}{\mathrm {L} _{3}^{(2)}}},{\frac {l_{3}^{(3)}}{\mathrm {L} _{3}^{(3)}}},\ldots ,{\frac {l_{4}}{\mathrm {L} _{4}}},{\frac {l_{5}^{(1)}}{\mathrm {L} _{5}^{(1)}}},{\frac {l_{5}^{(2)}}{\mathrm {L} _{5}^{(2)}}},{\frac {l_{5}^{(3)}}{\mathrm {L} _{5}^{(3)}}},\ldots ,$

dont La première, que je désignerai par (D), est composée de fractions croissantes et toutes plus petites que $a,$ et dont la seconde, que je désignerai par (E), est composée de fractions décroissantes et toutes plus grandes que $a.$

12. Corollaire I. — Il est facile de voir que les numérateurs et les dénominateurs des fractions de chacune des trois séries (C), (D), (E) vont continuellement en augmentant.

13. Corollaire II. — Si ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}$ sont deux fractions consécutives de la série (C), on aura

$l_{\rho +1}\mathrm {L} _{\rho }-\mathrm {L} _{\rho +1}l_{\rho }=\pm 1,$

le signe supérieur étant pour le cas où l’exposant $\rho$ est impair, c’est-à-dire où la fraction ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ est plus petite que $a,$ et le signe inférieur pour le cas opposé ; d’où il s’ensuit :

1^o Que chaque fraction ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ est déjà réduite à ses moindres termes ; car autrement il faudrait que l’unité fût divisible par la plus grande commune mesure de $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }\,;$