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mentant parce que les nombres

$l_{\rho -1},\quad l_{\rho },\ldots ,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {L} _{\rho -1},\quad \mathrm {L} _{\rho },\ldots$

augmentent continuellement.

3^o Je remarque que la quantité $\mathrm {B^{2}-AC}$ est égale à $-\nu ^{2}\,;$ car, en substituant les valeurs de $\mathrm {A,B,C}$ et effaçant ce qui se détruit, on trouve d’abord

$\mathrm {AC-B^{2}} =\nu ^{2}(l_{\rho }\mathrm {L} _{\rho -1}-l_{\rho -1}\mathrm {L} _{\rho })^{2}\,;$

mais, par la nature des fractions principales ${\frac {l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho -1}}},\ {\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ on a (13)

$l_{\rho }\mathrm {L} _{\rho -1}-l_{\rho -1}\mathrm {L} _{\rho }=\pm 1\,;$

donc $\mathrm {AC-B^{2}} =\nu ^{2},$ et par conséquent

$\mathrm {\sqrt {B^{2}-AC}} =\nu {\sqrt {-1}},$

de sorte que les deux racines trouvées ci-dessus seront imaginaires et exprimées par

$\mathrm {-{\frac {B}{A}}+{\frac {\nu }{A}}{\sqrt {-1}},\quad -{\frac {B}{A}}-{\frac {\nu }{A}}{\sqrt {-1}}} .$

Or, puisque $\nu$ est constant et que $\mathrm {B}$ doit aller en augmentant, il est visible qu’il arrivera nécessairement que $\mathrm {B} ^{2}$ surpassera $\nu ^{2},$ et alors ces deux racines imaginaires auront les conditions énoncées plus haut ; de sorte que, quand toutes les racines imaginaires d’une équation transformée, comme $z_{\rho }=0,$ seront dans le même cas, alors $z_{\rho }$ ne pourra plus devenir un minimum, ainsi que $z_{\rho +1},z_{\rho +2},\ldots \,;$ donc, etc.

20. Corollaire IV. — Nous avons supposé, dans les Corollaires précédents, que la racine $a$ était une des racines de l’équation

$z=0\,;$