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considérons maintenant le cas où elle en sera une de celles de l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0.$

Pour que ce cas ait lieu, il faut que cette racine réponde à $z$ égal à un minimum ; c’est de quoi l’on pourra s’assurer aisément en examinant si $x=a$ rend $z$ et ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ de même signe ; si ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ était nul en même temps que ${\frac {dz}{dx}},$ alors il faudrait, comme on sait, que ${\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}$ le fût aussi, et la condition du minimum serait que $z$ et ${\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}$ fussent de même signe, et ainsi de suite.

Supposons donc qu’on ait trouvé que la racine $a$ de l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0$

rend $z$ égal à un minimum, et soit cette valeur de $z$ égale à $\mathrm {Z} \,;$ je dis qu’on ne pourra jamais prendre dans l’équation (F) le nombre $y$ plus grand que ${\frac {1}{\sqrt[{n}]{\mathrm {Z} }}}\,;$ car nous avons vu (16) qu’il faut qu’en faisant $x={\frac {u}{y}}$ on ait $z={\frac {1}{y^{n}}}.$ Or je vais prouver que ${\frac {1}{y^{n}}}$ ne pourra jamais être plus petit que $\mathrm {Z} .$ En effet, supposons qu’il existe une valeur de $u$ et de $y$ telle, que $x={\frac {u}{y}}$ rende $z={\frac {1}{y^{n}}},$ et, comme $x=a$ rend $z$ égal à un minimum, la valeur de $z$ ne fera que diminuer depuis $x={\frac {u}{y}}$ jusqu’à $x=a$ (numéro cité) ; mais on a, lorsque $x=a,\ z=\mathrm {Z} \,;$ donc il faut que ${\frac {1}{y^{n}}}$ soit plus grand que $\mathrm {Z} ,$ ou au moins ne soit pas moindre que $\mathrm {Z} \,;$ donc on ne saurait avoir ${\frac {1}{y^{n}}}<\mathrm {Z}$ ou $y^{n}>{\frac {1}{\mathrm {Z} }},$ et de là $y>{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\mathrm {Z} }}},$ abstraction faite des signes de $\mathrm {Z}$ et de $y.$

Donc, puisqu’on ne peut prendre pour les nombres $u$ et $y$ que les numérateurs et les dénominateurs des fractions des séries (D) ou (E) con-