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dans laquelle tout est séparé, comme l’on voit. Il est d’abord évident que les deux membres de cette équation ne sont point intégrables, au moins algébriquement ; cependant on sait que l’équation en elle-même admet une intégrale algébrique. En effet, comme ${\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ est la différentielle de l’arc dont le sinus est $x,$ de même que ${\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}$ est la différentielle de l’arc dont le sinus est $y,$ on aura, en prenant les arcs au lieu de leurs différentielles, et ajoutant une constante quelconque $\mathrm {C} ,$

$\operatorname {arc} \sin x=\operatorname {arc} \sin y+\mathrm {C} \,;$

donc, si l’on suppose que $\mathrm {C}$ soit aussi exprimé par un arc dont le sinus soit $a,$ on aura

$\operatorname {arc} \sin x=\operatorname {arc} \sin y+\operatorname {arc} \sin a,$

c’est-à-dire que l’arc qui répond au sinus $x$ doit être égal à la somme des arcs qui répondent aux sinus $y$ et $a\,;$ de sorte qu’on aura, par les théorèmes connus,

(B)

$x=y{\sqrt {1-a^{2}}}+a{\sqrt {1-y^{2}}}\,;$

c’est l’intégrale de l’équation proposée, dans laquelle $a$ est la constante arbitraire.

3. J’avoue qu’on peut trouver cette intégrale sans le secours des théorèmes sur les sinus, en intégrant chaque membre de l’équation (A) par les logarithmes imaginaires, et passant ensuite des logarithmes aux nombres. De cette manière on aura

$\log \left(x{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)=\log \left(y{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-y^{2}}}\right)+\log \left(a{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-a^{2}}}\right),$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}x{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-x^{2}}}&=\left(y{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-y^{2}}}\right)\left(a{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&=\left(y{\sqrt {1-a^{2}}}+a{\sqrt {1-y^{2}}}\right){\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-y^{2}}}{\sqrt {1-a^{2}}}-ay\,;\end{aligned}}$

et comparant la partie imaginaire du premier membre à la partie imagi-