Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/8

naire du second, et la partie réelle avec la réelle, on aura comme ci-dessus

$x=y{\sqrt {1-a^{2}}}+a{\sqrt {1-y^{2}}},$

ou bien encore, ce qui revient au même dans le fond,

${\sqrt {1-x^{2}}}={\sqrt {1-a^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}-ay.$

4. Mais si, d’un côté, cette méthode est un peu plus directe que la précédente, de l’autre elle a aussi l’inconvénient de dépendre des quantités transcendantes ; en effet, puisque l’intégrale de l’équation proposée est absolument algébrique, n’est-il pas naturel de penser qu’il y ait aussi une voie purement algébrique pour y parvenir ?

Qu’on multiplie les deux membres de l’équation (A) en croix, on aura

$dx{\sqrt {1-y^{2}}}=dy{\sqrt {1-x^{2}}},$

et intégrant par parties

$x{\sqrt {1-y^{2}}}+\int {\frac {xydy}{\sqrt {1-y^{2}}}}=y{\sqrt {1-x^{2}}}+\int {\frac {yxdx}{\sqrt {1-x^{2}}}}+\mathrm {C} .$

Or l’équation (A) étant multipliée par $xy,$ et ensuite intégrée, donne

$\int {\frac {xydx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int {\frac {xydy}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,;$

donc l’équation précédente deviendra

$x{\sqrt {1-y^{2}}}=y{\sqrt {1-x^{2}}}+\mathrm {C} ,$

équation algébrique qui, en faisant $\mathrm {C} =a,$ revient au même que l’équation (B) du n^o 2.

5. On pourrait aussi appliquer la même méthode à l’intégration de l’équation générale

(C)

${\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}}={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}},$

car multipliant d’abord en croix, et prenant ensuite l’intégrale de chaque