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ayons démontré rigoureusement que le Problème est toujours nécessairement résoluble en nombres entiers (voyez le tome IV des Mémoires de Turin et le volume de l’année 1767 de ceux de cette Académie, p. 272)^[1].

34. Scolie. — Il n’est pas inutile de remarquer que les quantités $\mathrm {K} _{\nu }$ et $\mathrm {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}} ,$ qui entrent dans les expressions générales de $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }$ (31), sont toujours telles que

$\mathrm {K_{\nu }^{2}-\beta \left({\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}\right)^{2}} =\pm 1,$

le signe supérieur ayant lieu lorsque $\nu$ est pair, et l’inférieur lorsque $\nu$ est impair.

Pour démontrer cette proposition dans toute sa généralité, il faut remonter aux formules du n^o 44 des Additions citées, et l’on verra que la quantité

$\mathrm {K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}}$

n’est autre chose que la quantité

$\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1},$

dans laquelle on a substitué pour $x_{\mu }$ sa valeur

${\frac {{\sqrt {\beta }}+\varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}$

(on doit se souvenir que la quantité que nous nommons ici $\beta$ est celle que nous avons nommée $\mathrm {B}$ dans l’endroit cité). Or la quantité

$\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}$

est égale (n^o 25 des mêmes Additions) à

$x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu },$

1. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 671, et t. II, p. 377.