où et sont des nombres entiers quelconques, est toujours résoluble en nombres entiers d’une infinité de manières, lorsque et sont de même signe.
Car nous ayons démontré (no 41 des Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques) que, dans ce cas, la série sera nécessairement périodique dès le premier ou le second terme ; en sorte qu’on sera sûr que le terme reviendra nécessairement à chaque période ; ainsi l’on aura, par exemple,
or, de ce que nous avons vu ci-dessus dans les nos 18 et 29, il est facile de conclure qu’on a, en général,
le signe supérieur étant pour le cas où est pair, et l’inférieur pour le cas où est impair ; donc, si l’on fait et qu’on prenne pour un nombre quelconque entier positif, de manière que soit pair, on aura
de sorte que et
Si l’équation à résoudre était
il est clair qu’elle serait aussi résoluble d’une infinité de manières si était impair ; car alors, en prenant impair, serait aussi impair.
Si l’on fait et on a le cas du Problème de M. Fermat dont nous avons parlé au commencement de ce Mémoire. De grands Géomètres avaient déjà donné des méthodes pour résoudre ce Problème (voyez l’Algèbre de Wallis, chap. XCVIII, et surtout son Commercium epistolicum ; voyez aussi les Commentaires de Pétersbourg, tome VI des Anciens et tome XI des Nouveaux] ; mais nous croyons être les premiers qui
