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Or on peut prouver, comme dans le n^o 25 des Additions citées, qu’en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {P} \ \ &=0,\\\mathrm {P} _{1}&=1,\\\mathrm {P} _{2}&=\lambda _{\mu +\varpi +1}\mathrm {P} _{1},\\\mathrm {P} _{3}&=\lambda _{\mu +\varpi +2}\mathrm {P_{2}+P_{1}} ,\\\mathrm {P} _{4}&=\lambda _{\mu +\varpi +3}\mathrm {P_{3}+P_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura

$x_{\mu +\varpi }x_{\mu +\varpi +1}\ldots x_{\mu +\varpi +\nu -1}=\mathrm {P} _{\nu }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {P} _{\nu -1}=\mathrm {P} _{\nu }x_{\mu +\varpi -1}+\mathrm {P} _{\nu -1}.$

Donc, mettant pour $x_{\mu +\varpi -1}$ sa valeur ${\frac {{\sqrt {\beta }}+\varepsilon _{\mu +\varpi -1}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi 1}}},$ on aura

$\mathrm {K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}={\frac {P_{\nu }\varepsilon _{\mu +\varpi -1}}{E_{\mu +\varpi }}}+P_{\nu -1}+{\frac {P_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +\varpi }}}} \,;$

donc, à cause de l’irrationnelle ${\sqrt {\beta }},$ on aura

$\mathrm {K_{\nu }={\frac {P_{\nu }\varepsilon _{\mu +\varpi -1}}{E_{\mu +\varpi }}}+P_{\nu -1}\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}={\frac {P_{\nu }}{E_{\mu +\varpi }}}} \,;$

mais $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }=\pm 1$ (hypothèse) et $\mathrm {P_{\nu },P_{\nu -1}} ,\varepsilon _{\mu +\varpi -1}$ sont toujours des nombres entiers ; donc, etc.

Nous avons vu (30) qu’on peut toujours supposer que $\nu$ soit pair ; ainsi, les nombres

$\mathrm {K_{\nu }\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}}$

seront toujours tels que l’exige le Problème de M. Fermat ; d’où l’on voit que la solution de ce Problème est nécessaire pour la solution générale de tous les Problèmes indéterminés du second degré (voyez le tome VI des Anciens Mémoires de Pétersbourg et le tome IX des Nouveaux).

Nous remarquerons encore que les mêmes nombres

$\mathrm {K_{\nu }\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}}$