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ne dépendent que du nombre $\beta ,$ de sorte qu’ils sont toujours les mêmes pour toutes les équations où $\beta$ a une même valeur.

Car, puisque

$\lambda _{\mu +\varpi +1}<{\frac {\varepsilon _{\mu +\varpi }+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}}},$

il faudra que

${\frac {\varepsilon _{\mu +\varpi }+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}}}>1\,;$

mais, à cause de

$\beta =\varepsilon _{\mu +\varpi }^{2}+\mathrm {E_{\mu +\varpi }E_{\mu +\varpi +1}} ,$

on a

${\frac {\varepsilon _{\mu +\varpi }+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}}}={\frac {\mathrm {E} _{\mu +\varpi }}{{\sqrt {\beta }}-\varepsilon _{\mu +\varpi }}}\,;$

donc, à cause de $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }=\pm 1$ (hypothèse), il faudra que

${\frac {\pm 1}{{\sqrt {\beta }}-\varepsilon _{\mu +\varpi }}}>1\,;$

de sorte que $\varepsilon _{\mu +\varpi }$ ne pourra être que le nombre entier qui sera immédiatement plus petit ou plus grand que ${\sqrt {\beta }},$ suivant qu’on aura

$\mathrm {E} _{\mu +\varpi }=1\quad {\text{ou}}\quad =-1\,;$

ainsi $\varepsilon _{\mu +\varpi }$ et $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }$ seront donnés ; par conséquent, les termes suivants le seront aussi par les formules du n^o 29, aussi bien que les nombres $\lambda _{\mu +\varpi +1},\lambda _{\mu +\varpi +2},\ldots \,;$ donc, etc.

Il s’ensuit aussi de cette démonstration qu’en général tout terme de la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ qui est égal à $\pm 1$ est nécessairement périodique ; car, soit $\mathrm {E} _{\rho +1}$ ce terme, donc $\varepsilon _{\rho +1}$ sera égal au nombre entier qui est immédiatement au-dessous ou au-dessus de ${\sqrt {\beta }},$ selon que $\mathrm {E} _{\rho +1}$ sera égal à $+1$ ou égal à $-1\,;$ donc, à cause de

$\beta =\varepsilon _{\rho +1}^{2}+\mathrm {E_{\rho +1}E_{\rho +2}} ,$

il est visible que $\mathrm {E} _{\rho +1}$ et $\mathrm {E} _{\rho +2}$ seront nécessairement l’un et l’autre de