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et la valeur de $y$ ne pourra jamais surpasser le nombre ${\frac {1}{\sqrt {\mathrm {Z} }}},$ c’est-à-dire le nombre

$\mathrm {\frac {2{\sqrt {\cfrac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}}}}{\sqrt {4BD-C^{2}}}} .$

Maintenant il ne s’agira que de réduire en fraction continue la fraction $-\mathrm {\frac {Q}{2P}} ,$ c’est-à-dire celle-ci

$\mathrm {\frac {2B\theta +C}{2{\cfrac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}}}} ,$

ce qu’on peut faire aisément par la méthode dont nous avons parlé dans le n^o 26 ; ensuite on formera deux séries de fractions convergentes analogues à celles que nous avons désignées par (D) et (E) dans le n^o 11, qu’il suffira de continuer jusqu’à ce qu’on parvienne à une fraction dont le dénominateur surpasse la limite trouvée ci-dessus ; et les termes de ces fractions donneront les nombres qu’on pourra admettre pour $u$ et $y,$ de sorte qu’il n’y aura plus qu’à les essayer successivement pour trouver ceux qui pourront satisfaire à l’équation proposée. Désignons par ${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ chacune de ces fractions, et si l’équation (K) est résoluble en nombres entiers, on aura nécessairement

$u=\pm l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,$

lorsque la racine $-\mathrm {\frac {Q}{2P}}$ est positive, et

$u=\mp l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,$

lorsque cette racine est négative (16).

Au reste, il serait peut-être encore plus court, pour résoudre le cas présent, d’essayer d’abord, dans l’équation proposée (G), à la place de $u$ tous les nombres entiers moindres que

$\mathrm {\sqrt {\frac {4AB}{4BD-C^{2}}}} \,;$