même signe ; donc celui de ces deux termes qui sera moindre que sera nécessairement un des termes périodiques (no 41 des Additions citées) ; mais
(hypothèse), donc, etc. ; donc
sera nécessairement égal à
ou plus grand que
35. Second cas, lorsque
— Ayant fait la substitution de
à la place de
comme dans le no 29, on aura à résoudre l’équation (K)
![{\displaystyle \mathrm {P} u^{2}+\mathrm {Q} uy+\mathrm {R} y^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cd9b6e25ede5c366e4048b31691df91a224c47)
qui sera telle, que l’équation
![{\displaystyle \mathrm {P} x^{2}+\mathrm {Q} x+\mathrm {R} =z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebce8e91465c73f21291740bff424a3567eabb92)
n’aura que des racines imaginaires (21) ; de sorte qu’on aura nécessairement le cas du no 20.
On fera donc l’équation
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=2\mathrm {P} x+\mathrm {Q} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08ded340b9ade7481aa437f0a7dd959e4cc09af)
laquelle donne
![{\displaystyle x=-\mathrm {\frac {Q}{2P}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988f6696249dc1fff09a14e52e071d5fa97752a9)
et comme l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
n’a que deux racines imaginaires, on sera sûr que la racine que nous venons de trouver portera nécessairement à un minimum. Or, substituant cette valeur de
dans l’expression de
on aura
![{\displaystyle z=\mathrm {\frac {4PR-Q^{2}}{4P}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a6e45f5397f875e00162d24d3bab4377364a3e)
ce sera la plus petite valeur de
que nous avons désigné dans le numéro cité par
de sorte qu’en substituant les valeurs de
du no 29, on aura
![{\displaystyle \mathrm {Z} =\mathrm {\frac {4BD-C^{2}}{4{\cfrac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc002fb145568c882164e7e9a4681d80e68b564f)