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$\varepsilon ^{2}-13$ soit divisible par $101,$ et l’on trouvera $\varepsilon =35\,;$ or, $101$ étant un nombre premier, on sera déjà sûr qu’il n’y aura point d’autre nombre que celui-ci qui puisse être pris pour $\varepsilon .$ Or, comme on a ici $\mathrm {A}$ positif et $\varepsilon >{\sqrt {\Delta }},$ il est évident que, pour que

${\frac {\mathrm {A} }{\varepsilon -{\sqrt {\Delta }}}}$

soit positif, il suffit que $\varepsilon$ le soit ; ainsi il faudra prendre $\varepsilon$ positif et ${\sqrt {\Delta }}$ successivement positive et négative.

On fera donc en premier lieu

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-101,&&&\varepsilon \ \ &=35,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {13-35^{2}}{-101}}=12,\qquad &\lambda _{1}&<{\frac {35+{\sqrt {13}}}{12}}=3,\qquad &\varepsilon _{1}&=3.12-35=1,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {13-1}{12}}\quad =1,&\lambda _{2}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{1}}\ \ =4,&\varepsilon _{2}&=4.1-1=3,\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {13-9}{1}}\quad =4,&\lambda _{3}&<{\frac {3+{\sqrt {13}}}{4}}\ \ =1,&\varepsilon _{3}&=1.4-3=1,\\\mathrm {E} _{4}&={\frac {13-1}{4}}\quad =3,&\lambda _{4}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{3}}\ \ =1,&\varepsilon _{4}&=1.3-1=2,\\\mathrm {E} _{5}&={\frac {13-4}{4}}\quad =3,&\lambda _{5}&<{\frac {2+{\sqrt {13}}}{3}}\ \ =3,&\varepsilon _{5}&=1.3-2=1,\\\mathrm {E} _{6}&={\frac {13-1}{4}}\quad =4,&\lambda _{6}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{4}}\ \ =1,&\varepsilon _{6}&=1.4-1=3,\\\mathrm {E} _{7}&={\frac {13-9}{4}}\quad =1,&\lambda _{7}&<{\frac {3+{\sqrt {13}}}{1}}\ \ =6,&\varepsilon _{7}&=6.1-3=3,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

Je m’arrête d’abord ici parce que je vois que $\mathrm {E} _{7}$ est égal à $1$ avec un exposant impair ; de sorte que j’aurai

$\rho =6,\quad \mathrm {E} _{\rho +1}=1,\quad \varepsilon _{\rho }=\varepsilon _{6}=3\,;$

ainsi je n’aurai plus qu’à calculer les nombres $l_{1},l_{2},\ldots$ jusqu’à $l_{6}$ de la