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et il faudra d’abord chercher un nombre entier $\theta$ moindre que ${\frac {109}{2}},$ et tel que $\theta ^{2}+7$ soit divisible par $109\,;$ on trouvera

$\theta =\pm 50\,;$

et, à cause que $109$ est premier, on sera d’abord assuré qu’il n’y aura point d’autres nombres (10) qu’on puisse prendre pour $\theta ,$ On substituera donc dans la proposée $\pm 50u-109y$ à la place de $t,$ et la division étant faite par $109,$ on aura la réduite

$23u^{2}\mp 100uy+109y^{2}=1.$

Donc (35)

$\mathrm {P=23,\quad Q=\mp 100,\quad R=109} \,;$

et, à cause de $\mathrm {C=0,\ B} =1,$ la limite de $y$ sera

${\sqrt {\mathrm {\frac {\theta ^{2}+D}{AB}} }}={\sqrt {\frac {23}{7}}}<2\,;$

de sorte que $y$ ne pourra être que $0$ ou $1\,;$ ainsi il ne sera pas même nécessaire de chercher les fractions convergentes vers la fraction $\mathrm {\frac {Q}{2P}} ={\frac {50}{23}},$ pour trouver les valeurs de $u$ et $y\,;$ car, en faisant $y=1,$ on a

$23u^{2}\mp 100u+109=1\,;$

d’où

$u=\pm 2\quad {\text{et}}\quad t=100-109=-9\,;$

et faisant $y=-1,$ on aura

$u=\mp 2\quad {\text{et}}\quad t=-100+109=9\,;$

et donc en général

$u=\pm 2\quad {\text{et}}\quad t=\pm 9,$

les signes ambigus étant à volonté.

fin du tome deuxième.