Donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et multipliant par
on aura
![{\displaystyle {\frac {\left[4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]^{2}d\varphi ^{2}}{4f^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2b782d2898936ffbd8e828bc448d94e34807c0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\left[4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)\\&-v^{2}\left[d\left(u^{2}\right)\right]^{2}-u^{2}\left[d\left(v^{2}\right)\right]^{2}+\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)d\left(u^{2}\right)d\left(v^{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ec194e919fa813c0a6e4a3f063614d84627215)
Qu’on mette au lieu de
de
de
et de
leurs valeurs tirées des équations (B), Œ(E et (F), et l’on aura, en divisant par
et réduisant et ôtant ce qui se détruit,
![{\displaystyle {\frac {\left[4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]^{2}d\varphi ^{2}}{4f^{2}dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95c42fa3b1363c98cfdb7ea785f811ee16695c2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}=&\left[4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]\left(4\mathrm {C} +{\frac {2\mathrm {A} }{u}}+{\frac {2\mathrm {B} }{v}}\right)-4\mathrm {A} \left(u^{3}+3uv^{2}-f^{2}u\right)\\&-4\mathrm {B} \left(v^{3}+3vu^{2}-f^{2}v\right)-4\mathrm {C} \left(u^{4}+v^{4}+6u^{2}v^{2}\right)-4\mathrm {D} \left(u^{2}+v^{2}\right)-4\mathrm {E} \\&+2\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)\\&\qquad \times \left[\mathrm {A} \left(3u+{\frac {v^{2}-f^{2}}{u}}\right)+\mathrm {B} \left(3v+{\frac {u^{2}-f^{2}}{v}}\right)+\mathrm {C} \left(u^{2}+v^{2}\right)+2\mathrm {D} \right]\\=&-4\left(\mathrm {C} f^{4}+\mathrm {D} f^{2}+\mathrm {E} \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07ae742e2997b6b01c862b398cdcb91445584e9)
Donc, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {K} ^{2}=-\mathrm {C} f^{4}-\mathrm {D} f^{2}-\mathrm {E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024ed80359371dce531b2b260d6b6dcb037ccb9f)
on aura, en extrayant la racine carrée et multipliant par
![{\displaystyle {\frac {2f}{4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f013db950844e839a778f39947472e8a003b6cb)
(K)
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Supposons maintenant, comme nous avons fait ci-dessus,
![{\displaystyle u+v=p,\qquad u-v=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac868898f441b8f723afd58ec34a88a150eedb55)
c’est-à-dire
![{\displaystyle u={\frac {p+q}{2}},\qquad v={\frac {p-q}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d4ba88ee2ca31955e0a347a4c42611444b1210)