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Donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et multipliant par $4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2},$ on aura

${\frac {\left[4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]^{2}d\varphi ^{2}}{4f^{2}}}$

${\begin{aligned}&=\left[4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)\\&-v^{2}\left[d\left(u^{2}\right)\right]^{2}-u^{2}\left[d\left(v^{2}\right)\right]^{2}+\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)d\left(u^{2}\right)d\left(v^{2}\right).\end{aligned}}$

Qu’on mette au lieu de $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ de $d\left(u^{2}\right),$ de $d\left(v^{2}\right),$ et de $v^{2}\left[d\left(u^{2}\right)\right]^{2}+u^{2}\left[d\left(v^{2}\right)\right]^{2},$ leurs valeurs tirées des équations (B), Œ(E et (F), et l’on aura, en divisant par $dt^{2}$ et réduisant et ôtant ce qui se détruit,

${\frac {\left[4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]^{2}d\varphi ^{2}}{4f^{2}dt^{2}}}$

${\begin{aligned}=&\left[4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]\left(4\mathrm {C} +{\frac {2\mathrm {A} }{u}}+{\frac {2\mathrm {B} }{v}}\right)-4\mathrm {A} \left(u^{3}+3uv^{2}-f^{2}u\right)\\&-4\mathrm {B} \left(v^{3}+3vu^{2}-f^{2}v\right)-4\mathrm {C} \left(u^{4}+v^{4}+6u^{2}v^{2}\right)-4\mathrm {D} \left(u^{2}+v^{2}\right)-4\mathrm {E} \\&+2\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)\\&\qquad \times \left[\mathrm {A} \left(3u+{\frac {v^{2}-f^{2}}{u}}\right)+\mathrm {B} \left(3v+{\frac {u^{2}-f^{2}}{v}}\right)+\mathrm {C} \left(u^{2}+v^{2}\right)+2\mathrm {D} \right]\\=&-4\left(\mathrm {C} f^{4}+\mathrm {D} f^{2}+\mathrm {E} \right).\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait, pour abréger,

$\mathrm {K} ^{2}=-\mathrm {C} f^{4}-\mathrm {D} f^{2}-\mathrm {E} ,$

on aura, en extrayant la racine carrée et multipliant par

${\frac {2f}{4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}}},$

(K)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {4f\mathrm {K} }{4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}}}.$

Supposons maintenant, comme nous avons fait ci-dessus,

$u+v=p,\qquad u-v=q,$

c’est-à-dire

$u={\frac {p+q}{2}},\qquad v={\frac {p-q}{2}},$