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et nous aurons

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&{\frac {4fK}{f^{2}(p+q)^{2}-\left(pq+f^{2}\right)^{2}}}\\=&{\frac {4fK}{\left(p^{2}-f^{2}\right)\left(q^{2}-f^{2}\right)}}\\=&{\frac {4fK}{p^{2}-q^{2}}}\left({\frac {1}{p^{2}-f^{2}}}-{\frac {1}{q^{2}-f^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Mais on a par l’Article III

${\begin{aligned}{\frac {4dt}{p^{2}-q^{2}}}=&{\frac {dp}{\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}}\\=&{\frac {dq}{\sqrt {\mathrm {C} q^{4}+\mathrm {N} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {N} f^{2}q+\mathrm {E} }}}\,;\end{aligned}}$

donc on aura enfin

(L)

$\left\{{\begin{aligned}dv=&{\frac {f\mathrm {K} dp}{\left(p^{2}-f^{2}\right){\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}}}\\-&{\frac {f\mathrm {K} dq}{\left(q^{2}-f^{2}\right){\sqrt {\mathrm {C} q^{4}+\mathrm {N} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {N} f^{2}q+\mathrm {E} }}}},\end{aligned}}\right.$

ce qui donnera $\varphi$ en $p$ et $q$ c’est-à-dire en $u$ et $ev$

Ainsi, la solution du Problème est réduite maintenant à l’intégration de trois équations différentielles dans lesquelles les indéterminées sont toutes séparées.

Au reste, l’équation (K) donne

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{fr^{2}}},\quad {\text{ou bien}}\quad dt={\frac {fr^{2}d\varphi }{\mathrm {K} }}$

ce qui montre que le corps décrit autour de la ligne $\mathrm {BA} ,$ c’est-à-dire dans un plan perpendiculaire à cette ligne, des aires proportionnelles au temps.

V.

À l’égard des constantes $\mathrm {C,D,E} ,$ elles sont entièrement arbitraires et ne dépendent que de l’état initial du corps. Pour les déterminer, supposons que quand $t=0$ on ait

$u=g,\quad v=h,\quad {\frac {du}{dt}}=m,\quad {\frac {dv}{dt}}=n,\quad {\frac {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}{dt}}=i,$