et nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&{\frac {4fK}{f^{2}(p+q)^{2}-\left(pq+f^{2}\right)^{2}}}\\=&{\frac {4fK}{\left(p^{2}-f^{2}\right)\left(q^{2}-f^{2}\right)}}\\=&{\frac {4fK}{p^{2}-q^{2}}}\left({\frac {1}{p^{2}-f^{2}}}-{\frac {1}{q^{2}-f^{2}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900fdb9c9c200fc85b6c0a20782df420dabe8f82)
Mais on a par l’Article III
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {4dt}{p^{2}-q^{2}}}=&{\frac {dp}{\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}}\\=&{\frac {dq}{\sqrt {\mathrm {C} q^{4}+\mathrm {N} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {N} f^{2}q+\mathrm {E} }}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e46334749d31971c8218e0f772ee9f3c5c802a8)
donc on aura enfin
(L)
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ce qui donnera
en
et
c’est-à-dire en
et ![{\displaystyle ev}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e901132d15fa7733d1458e7926ba558a7945c0)
Ainsi, la solution du Problème est réduite maintenant à l’intégration de trois équations différentielles dans lesquelles les indéterminées sont toutes séparées.
Au reste, l’équation (K) donne
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{fr^{2}}},\quad {\text{ou bien}}\quad dt={\frac {fr^{2}d\varphi }{\mathrm {K} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99853811c3d44e42e9ddac52203f9ebdd9a73038)
ce qui montre que le corps décrit autour de la ligne
c’est-à-dire dans un plan perpendiculaire à cette ligne, des aires proportionnelles au temps.
V.
À l’égard des constantes
elles sont entièrement arbitraires et ne dépendent que de l’état initial du corps. Pour les déterminer, supposons que quand
on ait
![{\displaystyle u=g,\quad v=h,\quad {\frac {du}{dt}}=m,\quad {\frac {dv}{dt}}=n,\quad {\frac {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}{dt}}=i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd60263a4517805aa74b32eee59642d016368c1f)