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d’où l’on tire

${\frac {dt}{u^{2}}}={\frac {dz}{\sqrt {\mathrm {L+H} z^{2}}}}\,;$

mais à cause de $s=uz,$ on a

$d\varphi ={\frac {\mathrm {K} dt}{fu^{2}\left(1-z^{2}\right)}}\,;$

donc on aura

$d\varphi ={\frac {\mathrm {K} dz}{f\left(1-z^{2}\right){\sqrt {\mathrm {L+H} z^{2}}}}}.$

Pour mettre cette équation sous une forme plus simple, je fais

$z={\frac {r}{\sqrt {1+r^{2}}}},$

ce qui me donne

$dz={\frac {dr}{\left(1+r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad 1-z^{2}={\frac {1}{1+r^{2}}},\quad {\sqrt {\mathrm {L+H} z^{2}}}={\frac {\sqrt {\mathrm {L+(L+M)} r^{2}}}{\sqrt {1+r^{2}}}},$

et, par conséquent,

(V)

$d\varphi ={\frac {\mathrm {K} dr}{f{\sqrt {\mathrm {L+(L+M)} r^{2}}}}}\,;$

d’où il est aisé de trouver la valeur de $\varphi$ en $r\,;$ après quoi il n’y aura plus qu’à substituer pour $r$ sa valeur tirée de l’équation

${\frac {u^{2}-v^{2}+f^{2}}{2f}}=s=uz={\frac {ur}{\sqrt {1+r^{2}}}},$

laquelle est

$r={\frac {u^{2}-v^{2}+f^{2}}{\sqrt {4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}}}},$

et faisant ensuite

$u={\frac {p+q}{2}},\qquad v={\frac {p-q}{2}},$

ce qui donnera

$r={\frac {pq+f^{2}}{\sqrt {\left(f^{2}-p^{2}\right)\left(q^{2}-f^{2}\right)}}},$

on aura l’intégrale cherchée de l’équation (O).