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IX.

Nous avons vu que la constante $\mathrm {H}$ est entièrement arbitraire ; mais il n’en est pas de même de la constante $\mathrm {L} \,:$ en effet, si l’on reprend l’équation (U) et que l’on y substitue pour $u$ et pour $z$ leurs valeurs en $p$ et $q,$ lesquelles sont

$u={\frac {(p+q)}{2}},\qquad z={\frac {pq+f^{2}}{f(p+q)}},$

on aura, en multipliant par $16f^{2},$

${\frac {\left[(p^{2}-f^{2})dq+\left(q^{2}-f^{2}\right)dp\right]^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {16\left(pq+f^{2}\right)\mathrm {H} }{(p+q)^{2}}}16f^{2}\mathrm {L} ,$

c’est-à-dire

${\frac {\left(p^{2}-f^{2}\right)dq^{2}+\left(q^{2}-f^{2}\right)^{2}dp^{2}+2\left(p^{2}-f^{2}\right)\left(q^{2}-f^{2}\right)dpdq}{dt^{2}}}$

$-{\frac {16H(pq+f^{2})}{(p+q)^{2}}}=16f^{2}\mathrm {L} .$

Mais

$2dpdq=(dp+dq)^{2}-dp^{2}-dq^{2}=4du^{2}-dp^{2}-dq^{2}\,;$

donc, on aura

${\frac {\left(p^{2}-q^{2}\right)\left[\left(p^{2}-f^{2}\right)q^{2}-\left(q^{2}-f^{2}\right)dp^{2}\right]}{dt^{2}}}$

$+{\frac {4\left(p^{2}-f^{2}\right)\left(q^{2}-f^{2}\right)du^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {16\mathrm {H} \left(pq+f^{2}\right)^{2}}{(p+q)^{2}}}=16f^{2}\mathrm {L} .$

Substituons maintenant, au lieu de ${\frac {du^{2}}{dt^{2}}},{\frac {dp^{2}}{dt^{2}}},{\frac {dq^{2}}{dt^{2}}},$ leurs valeurs résultant des équations (Q) et (G), c’est-à-dire

${\frac {du^{2}}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {H} +2\mathrm {A} u+4\mathrm {C} u^{2}}{u^{2}}},$