Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/85

XI.

Supposant toujours $\mathrm {B} =0,$ en sorte que l’orbite du corps soit (comme on sait) une section conique dont l’un des foyers tombe dans le centre $\mathrm {A} ,$ on pourra placer l’autre centre $\mathrm {B}$ partout où l’on voudra. Prenons ce centre dans le point d’où l’on suppose que le corps est parti, et l’on aura, dans les formules de l’Article V,

$\mathrm {B} =0,\quad h=0,\quad g=f\,;$

et par conséquent

${\begin{aligned}\mathrm {C} =&{\frac {i^{2}}{4}}-{\frac {\mathrm {A} }{2f}},\\\mathrm {D} =&-{\frac {f^{2}i^{2}}{2}},\\\mathrm {E} =&{\frac {f^{4}i^{2}}{4}}+{\frac {f^{3}\mathrm {A} }{2}}\,;\end{aligned}}$

ou bien, à cause de $i^{2}=4\mathrm {C} +{\frac {2\mathrm {A} }{f}},$

${\begin{aligned}\mathrm {D} =&-\mathrm {C} f^{2}-\mathrm {A} f,\\\mathrm {E} =&\mathrm {C} f^{4}+\mathrm {A} f^{3}.\end{aligned}}$

Donc on aura, en substituant,

${\begin{aligned}\mathrm {C} p^{4}&+\mathrm {A} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {A} f^{2}p+\mathrm {E} \\=&\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {A} p^{3}-2\mathrm {C} f^{2}p^{2}-\mathrm {A} fp^{2}-\mathrm {A} f^{2}p+\mathrm {C} f^{4}+\mathrm {A} f^{3}\\=&\mathrm {C} \left(p^{2}-f^{2}\right)^{2}+\mathrm {A} \left(p^{2}-f^{2}\right)(p-f)\\=&(p-f)^{2}\left[\mathrm {C} (p+f)^{2}+\mathrm {A} (p+f)\right],\end{aligned}}$

et, de même,

$\mathrm {C} q^{4}+\mathrm {A} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {A} f^{2}q+\mathrm {E} =(q-f)^{2}\left[\mathrm {C} (q+f)^{2}+\mathrm {A} (q+f)\right].$

De sorte que les équations (M) et (N) de l’Article VII deviendront

${\frac {dp}{(p-f){\sqrt {\mathrm {C} (p+f)^{2}+\mathrm {A} (p+f)}}}}={\frac {dq}{(q-f){\sqrt {\mathrm {C} (q+f)^{2}+\mathrm {A} (q+f)}}}},$

$dt={\frac {p^{2}dp}{4(p-f){\sqrt {\mathrm {C} (p+f)^{2}+\mathrm {A} (p+f)}}}}-{\frac {q^{2}dq}{4(q-f){\sqrt {\mathrm {C} (q+f)^{2}+\mathrm {A} (q+f)}}}}.$