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Multiplions la première par ${\frac {f^{2}}{4}}$ et ajoutons-la à la seconde, on aura

$dt={\frac {\left(p^{2}-f^{2}\right)dp}{4(p-f){\sqrt {\mathrm {C} (p+f)^{2}+\mathrm {A} (p+f)}}}}-{\frac {\left(q^{2}-f^{2}\right)dq}{4(q-f){\sqrt {\mathrm {C} (q+f)^{2}+\mathrm {A} (q+f)}}}},$

c’est-à-dire

$dt={\frac {(p+f)dp}{4{\sqrt {\mathrm {C} (p+f)^{2}+\mathrm {A} (p+f)}}}}-{\frac {(q+f)dq}{4{\sqrt {\mathrm {C} (q+f)^{2}+\mathrm {A} (q+f)}}}},$

donc, si l’on fait pour plus de simplicité

${\begin{aligned}r=&{\frac {p+f}{2}}={\frac {u+v+f}{2}},\\s=&{\frac {q+f}{2}}={\frac {u-v+f}{2}},\end{aligned}}$

on aura

$dt={\frac {rdr}{\sqrt {4\mathrm {C} r^{2}+2\mathrm {A} r}}}-{\frac {sds}{\sqrt {4\mathrm {C} s^{2}+2\mathrm {A} s}}}.$

Or, lorsque $t=0,$ on a, par hypothèse, c $v=0,$ donc $r=s\,;$ ainsi il ne faudra point de constante dans l’intégration, pourvu que les intégrales des deux formules

${\frac {rdr}{\sqrt {4\mathrm {C} r^{2}+2\mathrm {A} r}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {sds}{\sqrt {4\mathrm {C} s^{2}+2\mathrm {A} s}}}$

soient prises de la même manière.

Cette expression du temps $t$ est remarquable en ce qu’elle ne contient qu’une seule constante $\mathrm {C}$ dépendante de la nature de la section conique, au lieu que les expressions ordinaires en contiennent nécessairement deux. Pour voir ce que c’est que cette constante $\mathrm {C} ,$ il n’y a qu’à considérer l’équation (T) de l’Article VII dans laquelle, $u$ étant le rayon vecteur, il est clair que les absides de l’orbite seront aux points où ${\frac {du}{dt}}=0,$ c’est-à-dire où $\mathrm {H} +2\mathrm {A} u+4\mathrm {C} u^{2}=0\,;$ d’où il s’ensuit que si l’on nomme $u'$ et $u''$ les valeurs de $u$ tirées de cette équation, on aura $u'+u''$ pour le grand axe, et $u'-u''$ pour l’excentricité ; mais, sans résoudre l’équation, on sait que

$-\mathrm {\frac {2A}{4C}} =u'+u''\,;$