XII.
Comme la difficulté de l’intégration des équations (H), (I) et (L), qui renferment la solution du Problème général, ne vient que des radicaux
et
supposons que les constantes
et
dépendantes de l’impulsion primitive du corps, soient telles, que les quantités
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}\ \ {\text{et}}\ \ {\sqrt {\mathrm {C} q^{4}+\mathrm {M} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {M} f^{2}q+\mathrm {E} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8137b5d3a8e045199240ca1f6a0b67faaca45ed5)
contiennent chacune un facteur carré ; et il est clair que les radicaux dont il s’agit se réduiront aux formes
![{\displaystyle (p-\alpha ){\sqrt {\mathrm {C} p^{2}+\beta p+\gamma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3816619ccb83f411a77a7a9b2a03a53323bf9f6d)
et
![{\displaystyle (q-\lambda ){\sqrt {\mathrm {C} q^{2}+\mu q+\nu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d063043bd837aca34ee7da3a625a0697e2539170)
de sorte que les équations du Problème ne dépendront plus que de la quadrature du cercle ou de l’hyperbole.
Pour cela je fais
et je substitue
au lieu de
dans la quantité
j’ai, en ordonnant les termes par rapport à
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} x^{4}&+(4\mathrm {C} \alpha +\mathrm {M} )x^{3}+\left(6\mathrm {C} \alpha ^{2}+3\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} \right)x^{2}\\&+\left(4\mathrm {C} \alpha ^{3}+3\mathrm {M} \alpha ^{2}+2\mathrm {D} \alpha -\mathrm {M} f^{2}\right)x+\mathrm {C} \alpha ^{4}+\mathrm {M} \alpha ^{3}+\mathrm {D} \alpha ^{2}-\mathrm {M} f^{2}\alpha +\mathrm {E} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc76af7b5680d2438a4cd2b4df24f8293d85739)
Or, afin que cette quantité contienne le facteur
il finit nécessairement que les deux derniers termes évanouissent ; ainsi l’on aura les deux équations
(X)
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par le moyen desquelles on déterminera tant la quantité
que la rela tion qui doit avoir lieu entre les constantes ![{\displaystyle \mathrm {C,D,E.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd2bb25fe452310447dc52081efd7ec408054fd)