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XII.

Comme la difficulté de l’intégration des équations (H), (I) et (L), qui renferment la solution du Problème général, ne vient que des radicaux ${\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}$ et ${\sqrt {\mathrm {C} q^{4}+\mathrm {M} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {M} f^{2}q+\mathrm {E} }}.$ supposons que les constantes $\mathrm {C,D}$ et $\mathrm {E} ,$ dépendantes de l’impulsion primitive du corps, soient telles, que les quantités

${\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}\ \ {\text{et}}\ \ {\sqrt {\mathrm {C} q^{4}+\mathrm {M} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {M} f^{2}q+\mathrm {E} }}$

contiennent chacune un facteur carré ; et il est clair que les radicaux dont il s’agit se réduiront aux formes

$(p-\alpha ){\sqrt {\mathrm {C} p^{2}+\beta p+\gamma }}$

et

$(q-\lambda ){\sqrt {\mathrm {C} q^{2}+\mu q+\nu }},$

de sorte que les équations du Problème ne dépendront plus que de la quadrature du cercle ou de l’hyperbole.

Pour cela je fais $p-\alpha =x,$ et je substitue $x+\alpha$ au lieu de $p$ dans la quantité $\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} \,;$ j’ai, en ordonnant les termes par rapport à $x,$

${\begin{aligned}\mathrm {C} x^{4}&+(4\mathrm {C} \alpha +\mathrm {M} )x^{3}+\left(6\mathrm {C} \alpha ^{2}+3\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} \right)x^{2}\\&+\left(4\mathrm {C} \alpha ^{3}+3\mathrm {M} \alpha ^{2}+2\mathrm {D} \alpha -\mathrm {M} f^{2}\right)x+\mathrm {C} \alpha ^{4}+\mathrm {M} \alpha ^{3}+\mathrm {D} \alpha ^{2}-\mathrm {M} f^{2}\alpha +\mathrm {E} .\end{aligned}}$

Or, afin que cette quantité contienne le facteur $x^{2},$ il finit nécessairement que les deux derniers termes évanouissent ; ainsi l’on aura les deux équations

(X)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {C} \alpha ^{4}+\mathrm {M} \alpha ^{3}+\mathrm {D} \alpha ^{2}-\mathrm {M} f^{2}\alpha +\mathrm {E} =0,\\&4\mathrm {C} \alpha ^{3}+3\mathrm {M} \alpha ^{2}+2\mathrm {D} \alpha -\mathrm {M} f^{2}=0,\end{aligned}}\right.$

par le moyen desquelles on déterminera tant la quantité $\alpha$ que la rela tion qui doit avoir lieu entre les constantes $\mathrm {C,D,E.}$