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De cette manière, la quantité dont il s’agit deviendra

$x^{2}\left[\mathrm {C} x^{2}+(4\mathrm {C} \alpha +\mathrm {M} )x+6\mathrm {C} \alpha ^{2}+3\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} \right],$

ou bien, en remettant $p-\alpha$ pour $x,$

$(p-\alpha )^{2}\left[\mathrm {C} p^{2}+(2\mathrm {C} \alpha +\mathrm {M} )p+3\mathrm {C} \alpha ^{2}+2\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} \right]\,;$

de sorte que l’on aura

$\beta =2\mathrm {C} \alpha +\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad \gamma =3\mathrm {C} \alpha ^{2}+2\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} .$

On trouvera de la même manière les deux équations en $\lambda$

(Y)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {C} \lambda ^{4}+\mathrm {n} \lambda ^{3}+\mathrm {D} \lambda ^{2}-\mathrm {N} f^{2}\lambda +\mathrm {E} =0,\\&4\mathrm {C} \lambda ^{3}+3\mathrm {N} \lambda ^{2}+2\mathrm {D} \lambda -\mathrm {N} f^{2}=0,\end{aligned}}\right.$

et ensuite

$\mu =2\mathrm {C\lambda +N} ,\quad {\text{et}}\quad \nu =3\mathrm {C\lambda ^{2}+2N\lambda +D} .$

XIII.

En faisant $p-\alpha =x,$ et supposant que les deux équations (X) aient lieu en même temps, on aura

${\frac {dp}{\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}}$

$={\frac {dx}{x{\sqrt {\mathrm {C} x^{2}+(4\mathrm {C} \alpha +\mathrm {M} )x+6\mathrm {C} \alpha ^{2}+3\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} }}}}\,;$

supposons $x$ infiniment petit, et le second membre de cette équation deviendra

${\frac {dx}{x{\sqrt {6\mathrm {C} \alpha ^{2}+3\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} }}}},$

dont l’intégrale est

${\frac {1}{\sqrt {6\mathrm {C} \alpha ^{2}+3\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} }}}\log {\frac {x}{\mathrm {X} }},$

$\mathrm {X}$ étant une constante indéterminée.

Or, si l’on fait (ce qui est permis) $\mathrm {X} =0,$ et que l’on suppose aussi $x=0,$ la quantité ${\frac {x}{\mathrm {X} }}$ deviendra ${\frac {0}{0}},$ c’est-à-dire indéterminée ; d’où il s’ensuit