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Or, on sait que

${\begin{aligned}{\frac {1}{1-{\cfrac {bx}{a}}}}\qquad &=1+{\frac {bx}{a}}+{\frac {b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots ,\\{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{2}}}&=1+{\frac {2.bx}{a}}+{\frac {3.b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4.b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots ,\\{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{3}}}&={\frac {1}{2}}\left(1.2+{\frac {2.3.bx}{a}}+{\frac {3.4.b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4.5.b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right),\\{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{4}}}&={\frac {1}{2.3}}\left(1.2.3+{\frac {2.3.4.bx}{a}}+{\frac {3.4.5.b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4.5.6.b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, si l’on suppose, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}\mathrm {X} \ \ &=\alpha x^{2}+\alpha _{1}x^{3}+\alpha _{2}x^{4}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{2}&=\beta \,x^{4}+\beta _{1}x^{5}+\beta _{2}x^{6}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{3}&=\gamma \,x^{6}+\gamma _{1}\,x^{7}+\gamma _{2}x^{8}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

il est facile de voir que le coefficient de la puissance $x^{m}$ dans la quantité ${\frac {\mathrm {X} }{1-{\cfrac {bx}{a}}}},$ développée suivant les puissances de $x,$ sera représenté par

$\alpha \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+\alpha _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3}+\ldots +\alpha _{m-2}\,;$

que celui de la même puissance $x^{m}$ dans la quantité ${\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{2}}}$ sera

${\frac {1}{2}}\left[(m-3)\beta \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}+(m-4)\beta _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-5}+\ldots +\beta _{m-4}\right],$

et que, dans la quantité ${\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{3}}},$ il sera

${\frac {1}{2.3}}\left[(m-4)(m-5)\gamma \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+(m-5)(m-6)\gamma _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-7}+\ldots +1.2.\gamma _{m-6}\right],$

et ainsi des autres.