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d’où, en multipliant en croix et comparant les termes, on tire

${\begin{aligned}\mathrm {A} &={\frac {b}{a}},\\2\mathrm {B} &={\frac {\mathrm {A} b-2c}{a}},\\3\mathrm {C} &={\frac {2\mathrm {B} b-\mathrm {A} c+3d}{a}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; ce qui donne les formules connues de Newton.

De cette manière on ne peut déterminer chaque coefficient qu’à l’aide de tous les coefficients précédents ; mais si l’on voulait avoir tout de suite l’expression du coefficient d’une puissance quelconque $x^{m},$ coefficient que nous appellerons $\mathrm {M} ,$ et qui sera par conséquent égal à

${\frac {{\cfrac {1}{p^{m}}}+{\cfrac {1}{q^{m}}}+{\cfrac {1}{r^{m}}}+\ldots }{m}},$

on pourra s’y prendre de la manière suivante.

3. On considérera que

$\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)=\log \left(1-{\frac {bx}{a}}\right)+\log \left[1-{\frac {-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)}}\right].$

Soit, pour abréger,

${\frac {-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}=\mathrm {X} ,$

en sorte que l’on ait

$\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)=\log \left(1-{\frac {bx}{a}}\right)+\log \left(1-{\frac {\mathrm {X} }{1-{\cfrac {bx}{a}}}}\right).$

Donc, réduisant ces deux derniers logarithmes en série, on aura

${\begin{aligned}-&\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)\\&={\frac {bx}{a}}+{\frac {b^{2}x^{2}}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}x^{3}}{3a^{3}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {X} }{1-{\cfrac {bx}{a}}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{3}}}+\ldots \\&=\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots +\mathrm {M} x^{m}+\ldots .\end{aligned}}$