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Il faut cependant observer que, comme nous avons vu dans le paragraphe cité que $p$ et $q$ doivent être à très-peu près égaux à ${\frac {l}{m}},$ il faudra que l’angle $\mathrm {A}$ soit très-petit et que $r$ et $\rho$ soient à très-peu près égaux à ${\frac {l}{m}}\,;$ d’où l’on voit que pour que ce cas ait lieu il faut que l’extrémité fixe $\mathrm {C}$ du ressort soit fort près de la circonférence du barillet et que la tangente en $\mathrm {C}$ soit presque perpendiculaire au rayon $\mathrm {CC} '.$

§ XV.

Au reste, la condition que $p$ et $q$ soient presque égaux à ${\frac {l}{m}}$ ne serait pas nécessaire si l’on supposait que les quantités $l$ et $m$ fussent très-grandes du même ordre ; car alors les quantités $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ pourraient être supposées très-petites de l’ordre de ${\frac {1}{m}},$ et l’on aurait dans cette hypothèse (§ XIII) les équations

$\mathrm {R} ={\frac {l}{m}},\quad {\frac {p-q\cos m}{l}}={\frac {1-\cos m-{\dfrac {\mathrm {V} m}{2}}}{m}},\quad {\frac {q\sin m}{l}}={\frac {\sin m+{\dfrac {\mathrm {T} m}{2}}}{m}}.$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&{\frac {2\left({\dfrac {m}{l}}q-1\right)\sin m}{m}},\\\mathrm {V} =&-{\frac {2\left({\dfrac {m}{l}}q-1\right)-\left({\dfrac {m}{l}}q-1\right)\cos m}{m}},\end{aligned}}$

de sorte que $\mathrm {P={\frac {2K^{2}T}{R^{2}}}}$ et $\mathrm {N={\frac {2K^{2}V}{R^{2}}}}$ seront des quantités fort petites, comme on l’a supposé dans les calculs du § XII.

Ce cas aura donc lieu lorsque le ressort sera fort long et qu’il fera un très-grand nombre de tours en forme de spirale. Ainsi, si l’on suppose qu’un pareil ressort soit appliqué à un balancier dont le centre soit $\mathrm {C} '$ (fig. 7, p. 104), et que l’une des extrémités du ressort étant arrêtée en $\mathrm {C} ,$ l’autre soit fixée perpendiculairement au rayon $\mathrm {C'A}$ du balancier,