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${\begin{aligned}-{\frac {n^{5}}{16.5}}&\left[{\frac {5.4}{2}}\left({\frac {6}{m^{5}}}+{\frac {8}{2.3.m^{3}}}+{\frac {10}{2.3.4.5.m}}\right)\sin t\right.\\&\,\ \ -5\left({\frac {6}{m^{5}}}+{\frac {8.3^{2}}{2.3.m^{3}}}+{\frac {10.3^{4}}{2.3.4.5.m}}\right)\sin 3t\\&\quad \ +\left.\left({\frac {6}{m^{5}}}+{\frac {8.5^{2}}{2.3.m^{3}}}+{\frac {10.5^{4}}{2.3.4.5.m}}\right)\sin 5t\right]\\\end{aligned}}$

$-{\frac {n^{6}}{32.6}}\times$

${\begin{aligned}\left[{\frac {6.6.5.4}{2.2.3.m^{7}}}t-{\frac {6.5}{2}}\left({\frac {6}{2m^{7}}}+{\frac {8.2}{2m^{5}}}+{\frac {10.2^{3}}{2.3.4.m^{3}}}+{\frac {12.2^{5}}{2.3\ldots 6.m}}\right)\sin 2t\right.\ \ &\\\quad +6\left({\frac {6}{4m^{7}}}+{\frac {8.4}{2m^{5}}}+{\frac {10.4^{3}}{2.3.4.m^{3}}}+{\frac {12.4^{5}}{2.3\ldots 6.m}}\right)\sin 4t\ \ &\\\quad -\left.\left({\frac {6}{6m^{7}}}+{\frac {8.6}{2m^{5}}}+{\frac {10.6^{3}}{2.3.4.m^{3}}}+{\frac {12.6^{5}}{2.3\ldots 6.m}}\right)\sin 6t\right]&\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII.

Nous avons donné plus haut (Article V) la valeur de $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u\,;$ si l’on voulait aussi avoir celle du logarithme de la même tangente, on la trouverait avec la même facilité en faisant

$\psi (x)=\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u=\log \left({\frac {m}{1+n}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}x\right),$

et par conséquent

$\psi (t)=\log {\frac {m}{1+n}}+\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t\quad {\text{et}}\quad \psi '(t)={\frac {1}{\sin t}}\,;$

ce qui étant substitué dans la formule de l’Article II on aurait

${\begin{aligned}\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u=&\log {\frac {m}{1+n}}+\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t-n+{\frac {n^{2}}{2}}{\frac {d\sin t}{dt}}\\&-{\frac {n^{3}}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{2}t}{dt^{2}}}+{\frac {n^{4}}{2.3.4}}{\frac {d^{3}\sin ^{3}t}{dt^{3}}}-\ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en réduisant les puissances de $\sin t$ en sinus et cosinus de