multiples de
et exécutant les différentiations indiquées,
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u=\log {\frac {m}{1+n}}+\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t-n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bd8bdcce0a777137c3cda26bd52d523add5e87)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\frac {n^{2}}{2}}\cos t\\&-{\frac {n^{3}}{2\times 2.3}}2^{2}\cos 2t\\&-{\frac {n^{4}}{4\times 2.3.4}}\left(3\cos t-3^{3}\cos 3t\right)\\&+{\frac {n^{5}}{8\times 2.3.4.5}}\left(4.2^{4}.\cos 2t-4^{4}\cos 4t\right)\\&+{\frac {n^{6}}{16\times 2.3.4.5.6}}\left({\frac {5.4}{2}}\cos t-5.3^{5}.\cos 3t+5^{5}\cos 5t\right)\\&-{\frac {n^{7}}{32\times 2.3\ldots 7}}\left({\frac {6.5}{2}}2^{6}\cos 2t-6.4^{6}.\cos 4t+6^{6}\cos 6t\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/222c0561e3e6bac678fbd62996e65ac9e0561e47)
VIII.
Les séries que nous venons de trouver dans les Articles précédents sont ordonnées par rapport aux puissances de l’excentricité
or, comme leur loi est assez claire, il ne serait pas difficile de les ordonner par rapport aux sinus ou cosinus des angles multiples de
ainsi qu’on le pratique communément ; cependant, pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, je vais donner ici d’autres séries équivalentes à celles-là, et disposées de cette dernière manière.
Pour y parvenir je remarque (comme je l’ai déjà fait dans le Mémoire cité, no 17) que, si l’on prend la fraction
![{\displaystyle {\frac {\psi '(t)}{z\left[1+z\varphi (t)\right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923eeb5ad94dbab3d244b52ff137d8ea82f78bfa)
qu’on la développe suivant les puissances de
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {\psi '(t)}{z}}-\varphi (t)\psi '(t)+z\left[\varphi (t)\right]^{2}\psi '(t)-z^{2}\left[\varphi (t)\right]^{3}\psi '(t)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d8b4e0f6f8fa9e2dcf84ce20e06089b0e175c8)
et qu’ensuite on change
en
en
en
et ainsi des autres puissances de
on aura la valeur de la fonction
(Article II).