Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/143

I.

Soient

(A)

$1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{4}+\ldots =0,$

(B)

$1+{\frac {a}{x}}+{\frac {b}{x^{2}}}+{\frac {c}{x^{3}}}+{\frac {d}{x^{4}}}+\ldots =0,$

les deux équations proposées, dont la première soit d’un degré quelconque $m,$ et la seconde aussi d’un degré quelconque $n.$ Il est évident que quelles que soient les équations données elles peuvent toujours se mettre sous les deux formes précédentes ; car pour cela il n’y a qu’à les diviser, l’une par le coefficient tout connu du dernier terme, et l’autre par la plus haute puissance de l’inconnue.

Je suppose que $1-\alpha x,\ 1-\beta x,\ 1-\gamma x,\ 1-\delta x,\ldots$ soient les facteurs de l’équation (A), en sorte que ${\frac {1}{\alpha }},\ {\frac {1}{\beta }},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\delta }},\ldots$ soient les racines de cette équation ; j’aurai donc

$1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{4}+\ldots =(1-\alpha x)(1-\beta x)(1-\gamma x)(1-\delta x)\ldots .$

et, prenant les logarithmes de part et d’autre,

$\log(1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{4}+\ldots )$

$=\log(1-\alpha x)+\log(1-\beta x)+\log(1-\gamma x)+\log(1-\delta x)+\ldots .$

Or on sait que

$\log(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-{\frac {z^{4}}{4}}+\ldots ,$

donc on aura aussi

$\left.{\begin{aligned}x\ \ &\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots \right)\\-{\frac {x^{2}}{2}}&\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots \right)^{2}\\+{\frac {x^{3}}{3}}&\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots \right)^{3}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}=\left\{{\begin{aligned}-\ \ x\ \ &(\alpha +\beta +\gamma +\delta +\ldots )\\-{\frac {x^{2}}{2}}&(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}+\ldots )\\-{\frac {x^{3}}{3}}&(\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\delta ^{3}+\ldots )\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$