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On sait de plus que le carré, le cube, etc., de tout polynôme, tel que $\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots ,$ est aussi un polynôme de la même forme, mais dont le nombre des termes est double, triple, etc., de sorte qu’on peut supposer

${\begin{aligned}\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots \right)^{2}=&\mathrm {A} '\ +\mathrm {B} 'x\,+\mathrm {C} 'x^{2}\,+\mathrm {D} 'x^{3}\,+\ldots ,\\\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots \right)^{3}=&\mathrm {A} ''+\mathrm {B} ''x+\mathrm {C} ''x^{2}+\mathrm {D} ''x^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite, les coefficients. $\mathrm {A',B',C',\ldots ,A'',B'',C''} ,\ldots$ étant aisés à trouver par la formation actuelle de ces puissances ou par d’autres moyens que nous indiquerons dans la suite.

Donc, si l’on substitue ces valeurs et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}\alpha \ \,+\beta \ \ +\gamma \ \,+\delta \ \,+\ldots =&-\mathrm {P} ,\\\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}+\ldots =&-2\mathrm {Q} ,\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\delta ^{3}+\ldots =&-3\mathrm {R} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura, en ordonnant les termes par rapport aux dimensions de $x,$

${\begin{aligned}\mathrm {A} x&+\mathrm {\left(B-{\frac {A'}{2}}\right)} x^{2}+\mathrm {\left(C-{\frac {B'}{2}}-{\frac {A''}{3}}\right)} x^{3}+\mathrm {\left(D-{\frac {C'}{2}}-{\frac {B''}{3}}-{\frac {A'''}{4}}\right)} x^{4}+\ldots \\&=\mathrm {P} x+\mathrm {Q} x^{2}+\mathrm {R} x^{3}+\mathrm {S} x^{4}+\ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, à cause que l’équation doit être identique,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {B-{\frac {A'}{2}}} \\\mathrm {R} =&\mathrm {C-{\frac {B'}{2}}-{\frac {A''}{3}}} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {D-{\frac {C'}{2}}-{\frac {B''}{3}}-{\frac {A'''}{4}}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Cela posé, je substitue successivement dans l’équation (B) les valeurs de $x$ résultant de l’équation (A), savoir ${\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\beta }},{\frac {1}{\gamma }},\ldots ,$ dont le nombre