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Mais on a

${\begin{aligned}\log &\left(1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots \right)\\&=\ \alpha \ \left(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\left(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&+{\frac {\alpha ^{3}}{3}}\left(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si l’on suppose que $a',b',c',\ldots ,a'',b'',c''$ soient des quantités formées de $a,b,c,$ comme les quantités $\mathrm {A',B',C',\ldots ,A'',B'',C''} ,\ldots$ le sont de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}\log &\left(1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots \right)\\&=\ \alpha \ \,\left(a\ \,+b\ \,\alpha +c\ \,\alpha ^{2}+d\ \,\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\left(a'\,+b'\,\alpha +c'\,\alpha ^{2}+d'\,\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&+{\frac {\alpha ^{3}}{3}}\left(a''+b''\alpha +c''\alpha ^{2}+d''\alpha ^{3}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

ou bien en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}p=&a,\\q=&b-{\frac {a'}{2}},\\r=&c-{\frac {b'}{2}}+{\frac {a''}{3}},\\s=&d-{\frac {c'}{2}}+{\frac {b''}{3}}-{\frac {a'''}{4}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura

$\log \left(1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots \right)=p\alpha +q\alpha ^{2}+r\alpha ^{3}+s\alpha ^{4}+\ldots .$

On trouvera de la même manière

${\begin{aligned}\log \left(1+a\beta +b\beta ^{2}+c\beta ^{3}+d\beta ^{4}+\ldots \right)=p\beta +q\beta ^{2}+r\beta ^{3}+s\beta ^{4}+\ldots ,\\\log \left(1+a\gamma +b\gamma ^{2}+c\gamma ^{3}+d\gamma ^{4}+\ldots \right)=p\gamma +q\gamma ^{2}+r\gamma ^{3}+s\gamma ^{4}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi des autres.