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Donc, ajoutant ensemble toutes ces quantités, et mettant à la place de $\alpha +\beta +\gamma +\ldots ,\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots ,\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\ldots ,$ les quantités $\mathrm {-P,-2Q,-3R} ,\ldots ,$ on aura

$\log \Pi =-p\mathrm {P} -2q\mathrm {Q} -3r\mathrm {R} -\ldots .$

Soit encore, pour abréger,

$\varphi =p\mathrm {P} +2q\mathrm {Q} +3r\mathrm {R} +\ldots ,$

et l’on aura

$\log \Pi =-\varphi ,\quad {\text{d’où}}\quad \Pi =e^{-\varphi },$

et résolvant en série la quantité exponentielle $e^{-\varphi },$ il viendra enfin

$\Pi =1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+\ldots .$

Ainsi le Problème est résolu.

II.

Comme la quantité $\Pi$ est le produit de $m$ facteurs tels que

$1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+\ldots ,\ \ 1+a\beta +b\beta ^{2}+c\beta ^{3}+\ldots ,\ \ 1+a\gamma +b\gamma ^{2}+c\gamma ^{3}+\ldots ,$

il est visible qu’elle ne peut contenir d’autres produits des quantités $a,b,c,\ldots$ que ceux dont les dimensions ne passent pas le nombre $m\,;$ d’où il s’ensuit

1^o Que l’équation $\Pi =0,$ ou bien

(D)

$1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+\ldots =0,$

ne doit contenir aucun terme dans lequel les quantités $a,b,c,\ldots$ forment ensemble des produits de plus de $m$ dimensions.

Or, si l’on met ${\frac {1}{x}}$ au lieu de $x$ dans les équations (B) et (A), elles deviennent celles-ci

${\begin{aligned}1+ax+bx^{2}+cx^{3}+dx^{4}+\ldots &=0,\\1+{\frac {\mathrm {A} }{x}}+\,{\frac {\mathrm {B} }{x^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} }{x^{3}}}+\,{\frac {\mathrm {D} }{x^{4}}}+\ldots &=0,\end{aligned}}$