Donc, ajoutant ensemble toutes ces quantités, et mettant à la place de
les quantités
on aura
![{\displaystyle \log \Pi =-p\mathrm {P} -2q\mathrm {Q} -3r\mathrm {R} -\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68876f619974f37aeb02a121d5400e3f1133e435)
Soit encore, pour abréger,
![{\displaystyle \varphi =p\mathrm {P} +2q\mathrm {Q} +3r\mathrm {R} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48124a32ba857fd83fcb511d6d890116e0de7686)
et l’on aura
![{\displaystyle \log \Pi =-\varphi ,\quad {\text{d’où}}\quad \Pi =e^{-\varphi },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c668acbb26fc1c016df68a9d4aee60db40100fb0)
et résolvant en série la quantité exponentielle
il viendra enfin
![{\displaystyle \Pi =1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e229f31892ffadef07b2649babc603ab884dc685)
Ainsi le Problème est résolu.
II.
Comme la quantité
est le produit de
facteurs tels que
![{\displaystyle 1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+\ldots ,\ \ 1+a\beta +b\beta ^{2}+c\beta ^{3}+\ldots ,\ \ 1+a\gamma +b\gamma ^{2}+c\gamma ^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0e38a566fe52b5a7746e7a9f9c31ff2866d024)
il est visible qu’elle ne peut contenir d’autres produits des quantités
que ceux dont les dimensions ne passent pas le nombre
d’où il s’ensuit
1o Que l’équation
ou bien
(D)
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ne doit contenir aucun terme dans lequel les quantités
forment ensemble des produits de plus de
dimensions.
Or, si l’on met
au lieu de
dans les équations (B) et (A), elles deviennent celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+ax+bx^{2}+cx^{3}+dx^{4}+\ldots &=0,\\1+{\frac {\mathrm {A} }{x}}+\,{\frac {\mathrm {B} }{x^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} }{x^{3}}}+\,{\frac {\mathrm {D} }{x^{4}}}+\ldots &=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df9fdd2efa491411d20f8ef812941b57802b138)