carré, le cube, la quatrième puissance, etc., de la série
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e6376c93775f37cff971d8d50c9b33fb293dd1)
et l’on poussera cette opération jusqu’à la
ième puissance. On formera ensuite de la même manière les quantités ![{\displaystyle a',b',c',d',\ldots ,a'',b'',c'',d'',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67dace43928e8201d4ca1c04b9e47c407e9f09e2)
![{\displaystyle a''',b''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094961a38b5ae96714e47230e9fe7834cbedb6e6)
jusqu’à la puissance
et pour cela il suffira de changer, dans les valeurs correspondantesde
les quantités
en ![{\displaystyle a,b,c,d,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b46a8d41b788cc8a4284aaa34baa53c4b66f15f)
Ayant ainsi toutes ces quantités, on les substituera dans la quantité
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} a+2\mathrm {\left(B-{\frac {A'}{2}}\right)} \left(b-{\frac {a'}{2}}\right)\\&+3\mathrm {\left(C-{\frac {B'}{2}}+{\frac {A''}{3}}\right)} \left(c-{\frac {b'}{2}}+{\frac {a''}{3}}\right)\\&+4\mathrm {\left(D-{\frac {C'}{2}}+{\frac {B''}{3}}-{\frac {A'''}{4}}\right)} \left(d-{\frac {c'}{2}}+{\frac {b''}{3}}-{\frac {a'''}{4}}\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4c570f33dedfe53e16104ff0391ea12858363b)
et l’on fera ensuite l’équation
![{\displaystyle 1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+{\frac {\varphi ^{4}}{2.3.4}}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d52af818d6828c471c726ba5a71369c0e004d4b)
en observant de rejeter tous les termes qui contiendraient des produits de
de plus de
dimensions, ou des produits de
de plus de
dimensions ; on aura, par ce moyen, l’équation qui résulte de l’élimination de l’inconnue
dans les deux équations proposées.
IV.
À l’égard des coefficients
on doit les déterminer à l’ordinaire par la formation des différentes puissances de
mais, comme le calcul des puissances fort haute serait assez laborieux, on peut l’abréger par la formule suivante, dont la démonstration se tire du calcul différentiel.