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V.

Exemple I. Que l’on ait à éliminer $x$ des deux équations

${\begin{aligned}1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}=&0,\\1+\ {\frac {a}{x}}\,+\ {\frac {b}{x^{2}}}=&0,\\\end{aligned}}$

on trouvera, en faisant le carré de $\mathrm {A+B} x,$

$\mathrm {A'=A^{2},\quad B'=2AB,\quad C'=B^{2}} ,$

et de même donc

$a'=a^{2},\quad b'=2ab,\quad c'=b^{2},$

donc

${\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} a+2\mathrm {\left(B-{\frac {A^{2}}{2}}\right)} \left(b-{\frac {a^{2}}{2}}\right)+3\mathrm {AB} ab+\mathrm {B} ^{2}b^{2},\\=&\mathrm {A} a+2\mathrm {B} b-\mathrm {A} ^{2}b-\mathrm {B} a^{2}+{\frac {\mathrm {A} ^{2}a^{2}}{2}}+3\mathrm {AB} ab+\mathrm {B} ^{2}b^{2}.\end{aligned}}$

Donc, en négligeant les produits de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ aussi bien que ceux de $a$ et $b,$ qui seraient de plus de deux dimensions, on aura

${\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\mathrm {A} ^{2}a^{2}+4\mathrm {AB} ab+4\mathrm {B} ^{2}b^{2},\\\varphi ^{3}&=0,\\\varphi ^{4}&=0,\\\ldots &\ldots .\end{aligned}}$

Substituant donc ces valeurs dans l’équation

$1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-\ldots =0,$

on aura

$1-\mathrm {A} a-2\mathrm {B} b+\mathrm {A} ^{2}b+\mathrm {B} a^{2}-\mathrm {AB} ab+\mathrm {B} ^{2}b^{2}=0.$

VI.

Au reste, on peut encore trouver la valeur de $\varphi$ d’une manière plus simple sans être obligé de calculer les quantités $\mathrm {A',B',C',\ldots A'',B'',C''} ,\ldots$

Pour cela, on remarquera que

$\varphi =\mathrm {P} p+2\mathrm {Q} q+3\mathrm {R} r+4\mathrm {S} s+\ldots ,$