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VII.

Si l’on met, pour plus de simplicité, $\mathrm {2Q,3R,4S} ,\ldots$ au lieu de $\mathrm {Q,R,S} ,\ldots$ et de même $2q,3r,4s,\ldots$ au lieu de $q,r,s,\ldots$ la valeur de $\varphi$ deviendra

$\varphi =\mathrm {P} p+{\frac {\mathrm {Q} q}{2}}+{\frac {\mathrm {R} r}{3}}+{\frac {\mathrm {S} s}{4}}+\ldots ,$

et l’on aura pour la détermination de $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ les formules suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {2B-AP} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {3C-BP-AQ} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {4D-CP-BQ-AR} ,\\\mathrm {T} =&\mathrm {5E-DP-CQ-BR-AS} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Il en sera de même pour les quantités $p,q,r,\ldots ,$ en changeant seulement $\mathrm {A}$ en $a,$ $\mathrm {B}$ en $b,$ $\mathrm {C}$ en $c,$ et l’équation sera, comme ci-dessus,

$1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+\ldots =0,$

dans laquelle il ne faudra conserver que les termes où les dimensions des produits de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ seront égales ou plus petites que $n,$ et ceux où les dimensions des produits de $a,b,c,$ seront égales ou plus petites que $m.$

VIII.

Exemple II. On propose d’éliminer $x$ des équations

${\begin{aligned}1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}=&0,\\1+\ {\frac {a}{x}}\,+\ {\frac {b}{x^{2}}}+\,\ {\frac {c}{x^{3}}}=&0,\\\end{aligned}}$