Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/154

On trouvera d’abord

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {2B-A^{2}} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {3C-3AB+A^{2}} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {-4AC-2B^{2}+4A^{2}B} ,\\\mathrm {T} =&\mathrm {-5BC+5A^{2}C+5AB^{2}} ,\\\mathrm {U} =&\mathrm {-3C^{2}+12ABC+2B^{2}} ,\\\mathrm {V} =&\mathrm {7AC^{2}+7B^{2}C} ,\\\mathrm {W} =&\mathrm {8BC^{2}} \,;\end{aligned}}$

donc on aura

${\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} a+{\frac {1}{2}}\mathrm {\left(2B-A^{2}\right)} \left(2b-a^{2}\right),\\&+{\frac {1}{3}}\mathrm {\left(3C-3AB+A^{2}\right)} \left(3c-3ab+a^{2}\right),\\&+{\frac {1}{4}}\mathrm {\left(-4AC-2B^{2}+4A^{2}B\right)} \left(-4ac-2b^{2}+4a^{2}b\right),\\&+{\frac {1}{5}}\mathrm {\left(-5BC+5A^{2}C+5AB^{2}\right)} \left(-5bc+5a^{2}c+5ab^{2}\right),\\&+{\frac {1}{6}}\mathrm {\left(-3C^{2}+12ABC+2B^{2}\right)} \left(-3c^{2}+12abc+2b^{2}\right),\\&+{\frac {1}{7}}\mathrm {\left(7AC^{2}+7B^{2}C\right)} \left(7ac^{2}+7b^{2}c\right),\\&+{\frac {1}{8}}8\mathrm {BC} ^{2}\times 8bc^{2}.\end{aligned}}$

Or, en rejetant les termes où $\mathrm {A,B,C}$ et $a,b,c$ sont des produits de plus de deux dimensions, et ordonnant les autres par rapport aux dimensions de ces mêmes quantités, on aurait

${\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} a+2\mathrm {B} b+3\mathrm {C} c\\&-\mathrm {B} a^{2}-3\mathrm {C} ab-b\mathrm {A} ^{2}-3c\mathrm {AB} \\&+{\frac {\mathrm {A} ^{2}a^{2}}{2}}+3\mathrm {AB} ab+\mathrm {\left(2AC+B^{2}\right)} \left(2ac+b^{2}\right)+5\mathrm {BC} bc+{\frac {3}{2}}\mathrm {C} ^{2}c^{2},\end{aligned}}$

d’où je tire, en ne conservant que les produits de trois ou d’un moindre