tion finie de
et
sans
et que le second est une fonction finie de
seul, il est clair que si l’on y fait varier à la fois les trois quantités
et
et qu’on suppose
on aura cette équation différentielle à trois variables
(C)
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de sorte qu’en regardant
comme une fonction de
et
donnée par l’équation (B), on aura
![{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-{\frac {p}{u}},\quad {\frac {du}{da}}={\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {R} u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f0d50a963fa2fe2febcac032c052054c075bb3)
2. Cela posé, considérons le temps
que le corps met à parcourir l’espace
on aura, comme on sait,
![{\displaystyle t=\int {\frac {dx}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee3ec3712f5ed0928ece41b88b272060662fe69)
où il faudra mettre à la place de
sa valeur en
et
donnée par l’équation (B), après quoi on intégrera en regardant
comme constante, ce qui donnera pour
une fonction de
et ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Supposons maintenant qu’on différentie cette valeur de
en y faisant varier à la fois
et
et l’on aura, en regardant
comme une fonction de
et
![{\displaystyle dt={\frac {dx}{u}}-da\int {\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{da}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b947c829fb518eb402d2b2c50cdca5cd4446bc)
ou bien, en substituant pour
sa valeur
et mettant la quantité
qui est une fonction de
seul hors du signe ![{\displaystyle \int ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ed1e60a9a47e097aca9a397fab1464c5ae063b)
(D)
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3. Or,
étant (hypothèse) une fonction donnée de
et
on aura
![{\displaystyle d\mathrm {L} =\mathrm {M} dx+\mathrm {N} da,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0504daeb947a6b7d56eac4a07e526b858974868a)
et comme
doit être une fonction quelconque de
on aura donc aussi
égale à une fonction quelconque de
que nous désignerons par ![{\displaystyle \mathrm {T} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd261eae05395e6d129e006c0ae99825d5503029)