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donc, différentiant et supposant $d\mathrm {T} =\mathrm {S} dt,$ on aura

$\mathrm {S} dt=\mathrm {M} dx+\mathrm {N} da\,;$

or, cette équation doit être identique avec l’équation (D) ; donc on aura, par la comparaison des termes affectés de $dx$ et de $da,$

$\mathrm {\frac {M}{S}} ={\frac {1}{u}},\quad \mathrm {\frac {N}{S}} =-\mathrm {B} \int {\frac {dx}{\mathrm {R} u^{2}}},$

et par conséquent

$\mathrm {\frac {N}{M}} =-\mathrm {B} u\int {\frac {dx}{\mathrm {R} u^{3}}}.$

Soit, pour abréger, $\mathrm {{\frac {N}{M}}=X} ,$ et l’on aura, en divisant par $u,$

${\frac {\mathrm {X} }{u}}=-\mathrm {B} u\int {\frac {dx}{\mathrm {R} u^{3}}},$

et différentiant, dans l’lypothèse de $x$ et $u$ seuls variables et de $a$ constante,

${\frac {ud\mathrm {X} -\mathrm {X} du}{u^{2}}}=-\mathrm {B} {\frac {dx}{\mathrm {R} u^{3}}}\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {R} ={\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {X} u{\dfrac {du}{dx}}-u^{2}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}\,;$

mais on a ${\frac {du}{dx}}=-{\frac {p}{u}},$ (I), donc

$\mathrm {R} ={\frac {\mathrm {B} }{p\mathrm {X} +u^{2}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}.$

Cette quantité $\mathrm {R}$ est, comme on voit, une fonction de $u,x$ et $a,$ parce que $\mathrm {B}$ est une fonction de $a,$ $\mathrm {X}$ une fonction de $a$ et $x,$ et $p$ une fonction de $x$ et $u\,;$ or, $a$ étant donné en $x$ et $u$ par l’équation (B), on pourra réduire la quantité $\mathrm {R}$ à n’être qu’une fonction de $x$ et $u,$ et dans cet état ce sera le multiplicateur qui doit rendre intégrable la différentielle $udu+pdx$ (I) ; on pourra donc substituer cette valeur de $\mathrm {R}$ dans l’équation (C), et, comme cette équation n’est autre chose que la différentielle de l’équation finie (B), il est clair qu’on pourra remettre dans $\mathrm {R}$ la quantité $a$ à la place de sa valeur en $u$ et $x\,;$ d’où il s’ensuit qu’on peut