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fonction quelconque de ${\frac {u}{\xi }}$ telle que $\varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right),$ et la mettant à la place de $\alpha \varphi \left({\frac {\alpha u}{\xi }}\right),$ on aura, en général,

$p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\dfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}\right].$

8. Corollaire II. — Substituons maintenant cette valeur de $p$ dans l’équation (E) du n^o 4, et l’on aura, à cause de $\mathrm {X} ={\frac {\xi }{\alpha }},$ l’équation

${\frac {{\dfrac {du}{u}}-{\dfrac {d\xi }{\xi }}}{\varphi \left({\dfrac {u}{\xi }}\right)}}+{\frac {dx}{\xi }}+{\frac {da}{\alpha }}=0,$

dont l’intégrale est

$\Phi \left({\frac {u}{\xi }}\right)+\int {\frac {dx}{\xi }}+\int {\frac {da}{\alpha }}=0.$

Or, il faut qu’en faisant $x=a$ on ait $u=0\,;$ donc, si l’on nomme $\mathrm {K}$ la valeur de $\Phi \left({\frac {u}{\xi }}\right)$ lorsque $u=0,$ valeur qui sera constante et indépendante de $a,$ parce que $\Phi \left({\frac {u}{\xi }}\right)$ est censée ne pas contenir $a,$ on aura, en faisant $x=a,$

$\mathrm {K} +\int {\frac {dx}{\xi }}+\int {\frac {da}{\alpha }}=0.$

d’où, à cause de $da=dx,$ il s’ensuit qu’on aura aussi

${\frac {1}{\xi }}+{\frac {1}{\alpha }}=0\quad {\text{et}}\quad \alpha =-\xi \,;$

c’est-à-dire que devra être une fonction de $a$ semblable à la fonction $\xi$ de $x,$ mais prise négativement.

9. Corollaire III. Donc, si l’on prend pour $\alpha$ une fonction de $a$ semblable à la fonction de $x$ qui est dénotée par $\xi ,$ on aura

$\mathrm {X} =-{\frac {\xi }{\alpha }}\,;$