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donc, faisant maintenant $x=0,$ on aura

$\mathrm {X} =0\quad {\text{et}}\quad {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {d\mathrm {X} }{du}}=\mathrm {D} .$

17. Cela posé, si l’on considère $\mathrm {X}$ comme une fonction de $x$ et $a$ et qu’on suppose

$d\mathrm {X} =\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} da,\quad d\mathrm {P} =\mathrm {R} dx+\mathrm {S} da,$

on aura

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {P} \quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=\mathrm {R} ,$

de sorte que la quantité $q$ deviendra

$q=\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+\mathrm {P} \left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+\mathrm {R} u^{2}.$

Regardons maintenant la quantité $\mathrm {X}$ comme une fonction de $x$ et $u,$ et l’on aura aussi

${\begin{aligned}d\mathrm {X} =&\mathrm {T} dx\ +\mathrm {V} du,\\d\mathrm {T} =&\mathrm {W} dx+\mathrm {Y} du,\\d\mathrm {V} =&\mathrm {Y} dx\ +\mathrm {Z} du\,;\end{aligned}}$

or on a, par l’équation (E),

$du=-{\frac {pdx}{u}}-{\frac {rda}{u}},$

donc

$d\mathrm {X} =\left(\mathrm {T} -{\frac {p\mathrm {V} }{u}}\right)dx-{\frac {r\mathrm {V} }{u}}du\,;$

donc

$\mathrm {P=T} -{\frac {p\mathrm {V} }{u}}\,;$

différentions maintenant cette valeur de $\mathrm {P} ,$ et l’on aura

$d\mathrm {P} =\mathrm {W} dx+\mathrm {Y} du-\mathrm {V} d{\frac {p}{u}}-{\frac {p}{u}}(\mathrm {Y} dx+\mathrm {Z} du),$

c’est-à-dire

$d\mathrm {P} =\left(\mathrm {W} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}{\frac {dp}{dx}}-\mathrm {Y} {\frac {p}{u}}\right)+\left(\mathrm {Y} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}{\frac {dp}{du}}+{\frac {\mathrm {V} p}{u^{3}}}-{\frac {p\mathrm {Z} }{u}}\right)du,$