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à cause de

$d{\frac {p}{u}}={\frac {1}{u}}\left({\frac {dp}{dx}}dx+{\frac {dp}{du}}du\right)-{\frac {pdu}{u^{2}}},$

et mettant pour $du$ sa valeur $-{\frac {pdx}{u}}-{\frac {rda}{u}},$

${\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\left(\mathrm {W} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}{\frac {dp}{dx}}-{\frac {2\mathrm {Y} }{u}}p+{\frac {\mathrm {V} p}{u^{2}}}{\frac {dp}{du}}-{\frac {\mathrm {V} p^{2}}{u^{4}}}+{\frac {\mathrm {Z} p^{2}}{u^{2}}}\right)dx\\&-{\frac {r}{u}}\left(\mathrm {Y} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}{\frac {dp}{du}}+{\frac {\mathrm {V} p}{u^{2}}}-{\frac {p\mathrm {Z} }{u}}\right)da,\end{aligned}}$

de sorte qu’on aura

$\mathrm {R} =\mathrm {W} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}\left({\frac {dp}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dp}{du}}+{\frac {p^{2}}{u^{3}}}\right)+{\frac {\mathrm {Z} p^{2}}{u^{2}}}-{\frac {2\mathrm {Y} p}{u}}.$

Substituant donc dans $q$ les valeurs de $\mathrm {P}$ et de $\mathrm {R}$ que nous venons de trouver, on aura

${\begin{aligned}q=&\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+\left(\mathrm {T} -{\frac {p\mathrm {V} }{u}}\right)\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+\mathrm {W} u^{2}\\&-{\frac {\mathrm {V} }{u}}\left(u^{2}{\frac {dp}{dx}}-up{\frac {dp}{du}}+{\frac {p^{2}}{u^{2}}}\right)+\mathrm {Z} p^{2}-2\mathrm {Y} up,\end{aligned}}$

c’est-à-dire

$q=\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+\mathrm {T} \left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)-\mathrm {V} u{\frac {dp}{dx}}+\mathrm {W} u^{2}+\mathrm {Z} p^{2}-2\mathrm {Y} up.$

Or, puisque $\mathrm {X}$ est regardé maintenant comme une fonction de $x$ et $u,$ on aura

$\mathrm {T} ={\frac {d\mathrm {X} }{dx}},\quad \mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {X} }{du}},\quad \mathrm {W} ={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}},\quad \mathrm {Y} ={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdu}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{du^{2}}},$

donc, substituant ces valeurs, on aura pour l’équation de condition

(I)

$\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)-{\frac {d\mathrm {X} }{du}}u{\frac {dp}{dx}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}u^{2}+{\frac {\mathrm {X} }{u^{2}}}p^{2}-2{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdu}}pu=0,$

et cette équation suffira pour la solution du Problème.

18. Donc, si l’on veut que $p$ soit exprimé par $\xi +\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V}$ étant une