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inconnue des mêmes variables, laquelle devra être telle, que la quantité dont il s’agit soit une différentielle complète. D’où il s’ensuit qu’on aura

${\frac {\mathrm {Z} }{r}}=\int {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}dx+\varphi (y),$

$\varphi (y)$ étant une fonction quelconque de $y,$ et par conséquent

$r={\frac {\mathrm {Z} }{\varphi (y)+\int {\cfrac {d\mathrm {Y} }{dy}}dx}}.$

Ayant $r,$ on aura $p$ par la formule ci-dessus, de sorte qu’en remettant ${\frac {u}{\mathrm {X} }}$ à la place de $y,$ on aura $p$ en $x$ et $u.$

20. Scolie. Au reste, puisque l’on a

$dt={\frac {dx}{u}}\quad {\text{et}}\quad udu+pdx=0,$

on aura aussi

$dt={\frac {dx}{u}}+\mathrm {X} (udu+pdx),$

$\mathrm {X}$ étant une quantité quelconque ; donc on pourra déterminer $\mathrm {X}$ en sorte que la quantité $dt$ ou

$\left({\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} \right)dx+\mathrm {X} udu$

soit intégrable ; alors le temps $t$ deviendra une fonction de $x$ et de $u\,;$ or $t$ doit être égal à zéro lorsque $x=0,$ et pour avoir le temps total il faudra faire $u=0\,;$ donc si l’on veut que le tautochronisme ait lieu, il faudra que l’intégrale de

$\left({\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} \right)dx+\mathrm {X} udu$

soit une telle fonction de $x$ et de $u,$ qu’elle s’évanouisse lorsque $x=0$ et qu’elle devienne constante, c’est-à-dire indépendante de $x$ lorsque $u=0$.