Or c’est ce qui aura lieu si l’on a
lorsque
et
lorsque
Maintenant, pour que
![{\displaystyle \left({\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} \right)dx+\mathrm {X} udu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d475b4b8ad35643429e28072ccc2ba406224493b)
soit intégrable, il faut que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} =\int {\frac {d(\mathrm {X} u)}{dx}}du=\int {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}udu\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6952388ecf11c92d0002ae5981b5fc6fbf9731f)
donc on aura, en général,
![{\displaystyle p={\frac {\int {\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}udu-{\cfrac {1}{u}}}{\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983a1a0710bfc4a36f1df3ee38f748449dfab094)
étant une fonction quelconque de
et de
telle que l’on ait
lorsque
et
lorsque ![{\displaystyle u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f289c38e17605c041078460c52652b4fd28147a)
Soit, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {X} =\xi \mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9eaaa1036bad0068d7674331aa432fecf15c37f)
étant une fonction de
telle qu’elle soit égale à zéro lorsque
et
une fonction de
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {V} {\frac {d\xi }{dx}}\quad {\text{et}}\quad \int {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}udu={\frac {d\xi }{dx}}\int \mathrm {\mathrm {V} } udu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bbf8eb23a7dea8c1f59cd3ce6eddca12e7a66e1)
de sorte que
devra être tel que
soit nul lorsque
de cette manière on aura, en général,
![{\displaystyle p={\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}{\frac {\int \mathrm {V} udu}{\mathrm {V} }}-{\frac {1}{\xi \mathrm {V} u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25df47d6e4c0becd1197cecd05b36762be5f92ec)
Supposons
on aura
![{\displaystyle \int \mathrm {V} udu={\frac {u^{m+2}}{m+2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c655f96484fb516de920113fe222a4e592f929)
d’où l’on voit que
doit être plus grand que zéro, c’est-à-dire
Faisons donc
,
étant un nombre quelconque