que et seront premiers entre eux ; autrement les quatre nombres et auraient une commune mesure, ce qui est contre l’hypothèse. Maintenant soit la plus grande commune mesure entre et en sorte que l’on ait et que soit premier à donc sera divisible par et il faudra que le soit par de sorte qu’on aura
or et étant premiers entre eux, il suit du Lemme précédent que tant le diviseur que le quotient seront la somme de deux carrés ; ainsi l’on aura
Soit de plus le plus grand facteur carré du nombre en sorte que étant un nombre qui ne soit divisible par aucun carré, et il est clair que ne pourra être divisible par à moins que ne le soit par soit donc et l’on aura
Or doit être aussi divisible par donc divisera mais divise déjà donc, puisque et sont premiers entre eux, il s’ensuit que sera aussi premier à par conséquent il faudra que divise et comme sera aussi un diviseur de donc, puisque et sont premiers entre eux, le diviseur sera égal à la somme de deux carrés par le Lemme. Faisant donc on aura
et de là
c’est-à-dire égal à la somme de deux carrés. On démontrera de la même manière que le quotient sera aussi égal à la somme de deux carrés.