Corollaire II. — Si la somme de deux carrés est divisible par une autre somme de deux carrés, le quotient sera toujours égal à la somme de deux carrés.
Car soit divisible par et si les nombres ont une commune mesure, dénotons-la par en sorte que l’on ait
et que n’aient aucun commun diviseur ; donc on aura
de sorte que sera divisible par or, faisant on aura par le Corollaire précédent égal à la somme de deux carrés ; donc, etc.
Théorème I.
Si la somme de quatre carrés est divisible par un nombre premier plus grand que la racine carrée de la même somme, ce nombre sera nécessairement égal à la somme de quatre carrés.
Car soit divisible par étant un nombre premier, en sorte que l’on ait
et comme on suppose que le diviseur est plus grand que
il est clair que le quotient sera plus petit que la même racine, de sorte qu’on aura
Cela posé, si les nombres et ont un diviseur commun il est clair que la somme de leurs carrés sera divisible par et qu’ainsi il faudra que le soit aussi ; or étant plus petit que sera plus petit que à cause de donc, puisque est premier (hypo-