Maintenant, comme
et
sont premiers entre eux, on peut toujours trouver deux multiples de
et
tels que leur somme ou leur différence soit égale à un nombre quelconque donné, et de plus on peut supposer que l’un de ces multiples soit moindre que
[voyez le Lemme I du Mémoire sur les Problèmes indéterminés, qui est imprimé dans le tome XXIV des Mémoire de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pour l’année 1768[1]] ; ainsi l’on peut faire
![{\displaystyle x=\alpha t+\gamma b\quad {\text{et}}\quad y=\beta t+\delta b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27e5eb1e730080a060f8da71f836b9c02894a5e)
et
étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et l’on peut supposer en même temps que
et
pris positivement, soient l’un et l’autre plus petits que
Qu’on fasse donc cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A} bt=t^{2}\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)+2\alpha \gamma tb+2\beta \delta tb+\gamma ^{2}b^{2}+\delta ^{2}b^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620ed71ca1cdc7c8de4c81ee9aa454d2675423df)
où l’on voit que tous les termes sont multipliés par
à l’exception de ceux-ci
![{\displaystyle t^{2}\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13800e82c9f365f05b096cb19842534fc5f728ee)
ainsi, pour que cette équation puisse subsister en nombres entiers comme il le faut, il est nécessaire que
soit aussi divisible par
mais
et
sont premiers entre eux, donc il faudra que
divise
de sorte qu’en nommant le quotient
on aura
![{\displaystyle a'b=1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e019839bfa8f56b910eea6d236ef73ad79a7e0)
et comme
et
sont chacun plus petits que
sera plus petit que
par conséquent
sera plus petit que ![{\displaystyle {\frac {b}{2}}+{\frac {1}{b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23734d2d7a335c02718894474343b082c2fe8afa)
Or, mettant dans l’équation ci-dessus
à la place de
et divisant ensuite par
on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} t=a't+2\alpha \gamma t+2\beta \delta t+\left(\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6655c4e5d1c16b3238a9312cb080dce435f67c8)
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. II, p. 659.