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Maintenant, comme $b$ et $t$ sont premiers entre eux, on peut toujours trouver deux multiples de $b$ et $t$ tels que leur somme ou leur différence soit égale à un nombre quelconque donné, et de plus on peut supposer que l’un de ces multiples soit moindre que ${\frac {bt}{2}}$ [voyez le Lemme I du Mémoire sur les Problèmes indéterminés, qui est imprimé dans le tome XXIV des Mémoire de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pour l’année 1768^[1]] ; ainsi l’on peut faire

$x=\alpha t+\gamma b\quad {\text{et}}\quad y=\beta t+\delta b,$

$\alpha ,\beta ,\gamma$ et $\delta$ étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et l’on peut supposer en même temps que $\alpha$ et $\beta ,$ pris positivement, soient l’un et l’autre plus petits que ${\frac {b}{2}}.$ Qu’on fasse donc cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra

$\mathrm {A} bt=t^{2}\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)+2\alpha \gamma tb+2\beta \delta tb+\gamma ^{2}b^{2}+\delta ^{2}b^{2},$

où l’on voit que tous les termes sont multipliés par $b,$ à l’exception de ceux-ci

$t^{2}\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\,;$

ainsi, pour que cette équation puisse subsister en nombres entiers comme il le faut, il est nécessaire que $t^{2}\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)$ soit aussi divisible par $b\,;$ mais $b$ et $t$ sont premiers entre eux, donc il faudra que $b$ divise $1+\alpha ^{2}+\beta ^{2},$ de sorte qu’en nommant le quotient $a'$ on aura

$a'b=1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\,;$

et comme $\alpha$ et $\beta$ sont chacun plus petits que ${\frac {b}{2}},$ $1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}$ sera plus petit que ${\frac {b^{2}}{2}}+1\,;$ par conséquent $a'$ sera plus petit que ${\frac {b}{2}}+{\frac {1}{b}}.$

Or, mettant dans l’équation ci-dessus $a'b$ à la place de $1+\alpha ^{2}+\beta ^{2},$ et divisant ensuite par $b,$ on aura

$\mathrm {A} t=a't+2\alpha \gamma t+2\beta \delta t+\left(\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)b,$

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 659.