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thèse), il est clair que $\mathrm {A}$ et $d$ seront premiers entre eux ; d’où il s’ensuit que $\mathrm {A} a$ ne pourra être divisible par $d^{2}$ à moins que $a$ ne le soit ; ainsi, divisant tant le nombre $a$ que chacun des carrés $p^{2},q^{2},\ldots$ par $d^{2},$ on aura une équation de la même forme que la précédente, où le coefficient $a$ sera toujours plus petit que $\mathrm {A}$ et où les quatre carrés $p^{2},q^{2},r^{2},s^{2}$ n’auront plus de commun diviseur.

Considérons donc l’équation

$\mathrm {A} a=p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}$

comme déjà réduite à cet état, et si le nombre $p^{2}+q^{2}$ n’est pas premiers à $a,$ soit $\rho$ leur plus grande commune mesure, en sorte que l’on ait

$a=b\rho \quad {\text{et}}\quad p^{2}+q^{2}=t\rho ,$

$b$ et $t$ étant premiers entre eux ; on aura donc

$Ab\rho =t\rho +r^{2}+s^{2},$

d’où l’on voit que $r^{2}+s^{2}$ doit être aussi divisible par $\rho ,$ de sorte que, nommant le quotient $u,$ l’équation deviendra

$\mathrm {A} b=t+u\,;$

or, puisque $\rho$ divise tant $p^{2}+q^{2}$ que $r^{2}+s^{2},$ et que $p,q,r$ et $s$ n’ont aucun diviseur commun, il s’ensuit du Corollaire I du Lemme précédent que les quotients ${\frac {p^{2}+q^{2}}{\rho }}=t$ et ${\frac {r^{2}+s^{2}}{\rho }}=u$ seront l’un et l’autre la somme de deux carrés ; ainsi l’on aura

$t=m^{2}+n^{2}\quad {\text{et}}\quad u=h^{2}+l^{2}\,;$

donc, multipliant toute l’équation par $t,$ on aura

$\mathrm {A} bt=t^{2}+tu,$

ou bien, en faisant $x=mh+nl$ et $y=ml-nh,$ en sorte que $tu=x^{2}+y^{2},$ on aura cette équation-ci

$\mathrm {A} bt=t^{2}+x^{2}+y^{2}.$