thèse), il est clair que
et
seront premiers entre eux ; d’où il s’ensuit que
ne pourra être divisible par
à moins que
ne le soit ; ainsi, divisant tant le nombre
que chacun des carrés
par
on aura une équation de la même forme que la précédente, où le coefficient
sera toujours plus petit que
et où les quatre carrés
n’auront plus de commun diviseur.
Considérons donc l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} a=p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e387aa93fad2f94927c06c6133d984e1906342)
comme déjà réduite à cet état, et si le nombre
n’est pas premiers à
soit
leur plus grande commune mesure, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle a=b\rho \quad {\text{et}}\quad p^{2}+q^{2}=t\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbd5532c7a2d60ce5367105fd6774d69ed27762)
et
étant premiers entre eux ; on aura donc
![{\displaystyle Ab\rho =t\rho +r^{2}+s^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0169e2713378f22ce742cf4111b2138c1a04a34b)
d’où l’on voit que
doit être aussi divisible par
de sorte que, nommant le quotient
l’équation deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A} b=t+u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58d8ff54e832a7ac896459d452aa57e261ae8fc)
or, puisque
divise tant
que
et que
et
n’ont aucun diviseur commun, il s’ensuit du Corollaire I du Lemme précédent que les quotients
et
seront l’un et l’autre la somme de deux carrés ; ainsi l’on aura
![{\displaystyle t=m^{2}+n^{2}\quad {\text{et}}\quad u=h^{2}+l^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be588014a97dfb2bf04d1417cc95ca2cb02b991)
donc, multipliant toute l’équation par
on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} bt=t^{2}+tu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b774aa1cfe3cdf3cdee8710fcfd3d36598aad9)
ou bien, en faisant
et
en sorte que
on aura cette équation-ci
![{\displaystyle \mathrm {A} bt=t^{2}+x^{2}+y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f535728d51c12e51729b29aa047f3700df342f78)