ou et l’on fera la même chose par rapport aux autres nombres s’ils se trouvent plus grands que
Si était divisible par on aurait
de sorte que dans ce cas il faudrait mettre à la place de il en serait de même à l’égard de s’il était aussi divisible par et ainsi des autres ; mais comme on suppose que et n’ont aucun diviseur commun, ils ne peuvent pas être tous divisibles à la fois par et même il ne pourra pas y en avoir plus de deux qui le soient ; autrement il faudrait que tous quatre le fussent ; de sorte qu’il n’y a pas à craindre que, par ces réductions, le dividende devienne nul.
Remarque. — Au reste il est clair que la démonstration du Théorème précédent n’en subsistera pas moins si l’on suppose qu’un ou deux des quatre carrés qui composent le dividende soient nuls ; d’ailleurs il peut aussi arriver qu’un ou deux des quatre carrés qu’on trouvera pour le diviseur soient nuls ; donc, en général, tout nombre premier qui divisera la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés entiers, pourvu qu’ils n’aient entre eux aucun diviseur commun, sera nécessairement égal à la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés entiers.
Si est un nombre premïer et que et soient des nombres quelconques positifs ou négatifs non divisibles par je dis qu’on pourra toujours trouver deux nombres et tels que le nombre soit divisible par
Car : 1o Si l’on peut trouver un nombre tel que soit divisible par il n’y aura alors qu’à prendre divisible par ou bien
2o S’il n’y a aucun nombre qui étant pris pour puisse rendre divisible par faisons, pour abréger, et supposant
